Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKare Formlar ve Matrislerin Tanımlılığı

Üç değişkenli x=[x1x2x3]Tx = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & x_3 \end{bmatrix}^T vektörü için tanımlanan karesel form,

Q(x)=−2x12−x22−2x32+4x1x2+2x2x3Q(x) = -2x_1^2 - x_2^2 - 2x_3^2 + 4x_1 x_2 + 2x_2 x_3

şeklinde verilmiştir.

Bu karesel formun tanımlılık durumu aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Belirsiz (Indefinite)Cevap
  2. B
    Negatif tanımlı
  3. C
    Pozitif tanımlı
  4. D
    Negatif yarı-tanımlı
  5. E
    Pozitif yarı-tanımlı

Cevap

Verilen karesel formun asli öncü minörleri hesaplandığında, kurallara uymayan işaret değişimlerinden dolayı karesel form belirsiz (indefinite) durumundadır.
Verilen karesel forma ait katsayılar matrisi oluşturulduğunda D1=−2D_1 = -2, D2=−2D_2 = -2 ve D3=6D_3 = 6 değerleri bulunur. Matrisin negatif tanımlı olabilmesi için asli öncü minörlerinin işaretlerinin sırasıyla D1<0D_1 < 0, D2>0D_2 > 0, D3<0D_3 < 0 olması gerekirken, burada D2<0D_2 < 0 ve D3>0D_3 > 0 bulunmuştur. İşaret örüntüsü pozitif veya negatif tanımlılık kurallarına uymadığından, matris (ve dolayısıyla karesel form) belirsizdir (indefinite). Ayrıca matrisin izi −5-5 (negatif) ve determinantı 66 (pozitif) olduğundan özdeğerler arasında hem pozitif hem negatif değerler mevcuttur.

Adım Adım Çözüm

1
Karesel formdan simetrik katsayılar matrisini (A) oluşturun.
A=[−2202−1101−2]A = \begin{bmatrix} -2 & 2 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix} matrisi elde edilir.
Karesel formların tanımlılık durumunu incelemek için xTAxx^T A x yapısındaki A simetrik matrisine ihtiyaç vardır. Kareli terimlerin katsayıları köşegene, çapraz çarpım terimlerinin katsayılarının yarısı ise simetrik olarak köşegen dışına yerleştirilir.
2
Matrisin birinci asli öncü minörünü (D1D_1) hesaplayın.
D1=∣−2∣=−2D_1 = |-2| = -2
Pozitif veya negatif tanımlılık kontrolünün ilk adımı matrisin sol üst köşesindeki 1×11 \times 1 boyutlu minörü kontrol etmektir.
3
Matrisin ikinci asli öncü minörünü (D2D_2) hesaplayın.
D2=∣−222−1∣=(−2)(−1)−(2)(2)=2−4=−2D_2 = \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = (-2)(-1) - (2)(2) = 2 - 4 = -2
Tanımlılık kontrolüne sol üst köşeden 2×22 \times 2 boyutlu minörün determinantını alarak devam edilir.
4
Matrisin üçüncü asli öncü minörünü (D3D_3, yani matrisin determinantını) hesaplayın.
D3=−2(−1×−2−1×1)−2(2×−2−0×1)=−2(1)−2(−4)=6D_3 = -2(-1 \times -2 - 1 \times 1) - 2(2 \times -2 - 0 \times 1) = -2(1) - 2(-4) = 6
Son asli öncü minör olan determinant hesaplanarak tüm işaret örüntüsü elde edilir.
5
Elde edilen minör işaretlerini tanımlılık kuralları ile karşılaştırın.
İşaretler sırasıyla D1<0D_1 < 0, D2<0D_2 < 0, D3>0D_3 > 0 çıkmıştır. Pozitif tanımlı olması için hepsi pozitif, negatif tanımlı olması için (-, +, -) olmalıydı. Hiçbir kurala uymadığı için matris belirsizdir (indefinite).
Asli öncü minörlerin işaret dizilimi doğrudan matrisin (ve karesel formun) tanımlılığını verir.

Anahtar Kavram

Kare Formlar ve Matrislerin Tanımlılığı
Bu soruyu puanla

Konular

Kare Formlar ve Matrislerin Tanımlılığı

Bu konudan daha fazla soru