Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKare Formlar ve Matrislerin Tanımlılığı

Uygulamalı çok değişkenli istatistiksel analizlerde, uzaklık ölçülerinin (örneğin Mahalanobis uzaklığı) geçerli bir metrik belirtebilmesi için kullanılan varyans-kovaryans matrisinin kesinlikle pozitif tanımlı (positive definite) olması gerekmektedir.

Bir araştırmacı, üç değişkenli bir veri seti için varyans-kovaryans matrisini aşağıdaki gibi tahmin etmiştir:

Σ=[21112−11−1k] \Sigma = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & -1 & k \end{bmatrix}

Buna göre, Σ \Sigma matrisinin pozitif tanımlı bir matris olabilmesi için k k parametresinin alabileceği en küçük tam sayı değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    -1
  2. B
    1
  3. C
    2
  4. 3Cevap
  5. E
    4

Cevap

Sylvester Kriterine göre tüm asli öncü minörlerin pozitif olması şartından k > 2 eşitsizliği elde edilir ve bu şartı sağlayan en küçük tam sayı 3'tür.
Sylvester Kriterine göre bir simetrik matrisin pozitif tanımlı (positive definite) olabilmesi için tüm asli öncü minörlerinin (leading principal minors) pozitif olması zorunludur. İlgili matriste birinci minör D1=2>0D_1 = 2 > 0 ve ikinci minör D2=3>0D_2 = 3 > 0 koşulunu sağlamaktadır. Üçüncü minör (matrisin determinantı) D3=3k−6D_3 = 3k - 6 şeklindedir. Kesin pozitif tanımlılık için 3k−6>0  ⟹  k>23k - 6 > 0 \implies k > 2 olmalıdır. k>2k > 2 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı 3'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Sylvester Kriteri gereği birinci asli öncü minörü (D1D_1) hesapla.
D1=∣2∣=2D_1 = |2| = 2.
Pozitif tanımlılık için D1>0D_1 > 0 olmalıdır; 2>02 > 0 olduğu için şart sağlanır.
2
İkinci asli öncü minörü (D2D_2) hesapla.
D2=∣2112∣=(2×2)−(1×1)=3D_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (2 \times 2) - (1 \times 1) = 3.
Pozitif tanımlılık için D2>0D_2 > 0 olmalıdır; 3>03 > 0 olduğu için şart sağlanır.
3
Üçüncü asli öncü minörü (tüm matrisin determinantı olan D3D_3) hesapla.
D3=2(2k−(−1))−1(k−(−1))+1(−1−2)=2(2k−1)−1(k+1)+1(−3)=4k−2−k−1−3=3k−6D_3 = 2(2k - (-1)) - 1(k - (-1)) + 1(-1 - 2) = 2(2k - 1) - 1(k + 1) + 1(-3) = 4k - 2 - k - 1 - 3 = 3k - 6.
Kesin pozitif tanımlılık için D3>0D_3 > 0 olmalıdır.
4
Elde edilen eşitsizliği çöz ve parametrenin alabileceği en küçük tam sayıyı belirle.
3k−6>0  ⟹  3k>6  ⟹  k>23k - 6 > 0 \implies 3k > 6 \implies k > 2. Bu eşitsizliği sağlayan en küçük tam sayı k=3k = 3'tür.
Uzaklık fonksiyonlarında metrik şartlarının sağlanması ve matrisin tersinin alınabilmesi için kesin pozitif tanımlılık zorunludur.

Anahtar Kavram

Sylvester Kriteri ve Asli Öncü Minörler
Bu soruyu puanla

Konular

Kare Formlar ve Matrislerin Tanımlılığı

Bu konudan daha fazla soru