Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKare Formlar ve Matrislerin Tanımlılığı

A\mathbf{A}, 2×22 \times 2 boyutlu simetrik bir matris ve x=[x1x2]T\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix}^T sıfır vektöründen farklı bir vektör olmak üzere, bu matrise ait karesel form Q(x)=xTAxQ(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T \mathbf{A} \mathbf{x} olarak tanımlanmıştır.

Yapılan hesaplamalar sonucunda A\mathbf{A} matrisinin izinin (trace) −5-5 ve determinantının 66 olduğu bulunmuştur.

Buna göre, A\mathbf{A} matrisinin tanımlılık durumu ve Q(x)Q(\mathbf{x}) karesel formunun alabileceği değerler hakkında aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. Negatif tanımlıdır ve her x≠0\mathbf{x} \neq \mathbf{0} için Q(x)<0Q(\mathbf{x}) < 0 olur.Cevap
  2. B
    Pozitif tanımlıdır ve her x≠0\mathbf{x} \neq \mathbf{0} için Q(x)>0Q(\mathbf{x}) > 0 olur.
  3. C
    Belirsizdir (indefinite) ve x\mathbf{x}'in değerine göre Q(x)Q(\mathbf{x}) hem pozitif hem negatif değerler alabilir.
  4. D
    Negatif yarı tanımlıdır ve x≠0\mathbf{x} \neq \mathbf{0} olan bazı vektörler için Q(x)=0Q(\mathbf{x}) = 0 olabilir.
  5. E
    Pozitif yarı tanımlıdır ve x≠0\mathbf{x} \neq \mathbf{0} olan bazı vektörler için Q(x)=0Q(\mathbf{x}) = 0 olabilir.

Cevap

Negatif tanımlıdır ve her x≠0\mathbf{x} \neq \mathbf{0} için Q(x)<0Q(\mathbf{x}) < 0 olur.
2×22 \times 2 boyutlu bir matrisin izi özdeğerlerinin toplamına (−5-5), determinantı ise özdeğerlerinin çarpımına (66) eşittir. Çarpımları pozitif ve toplamları negatif olan iki sayı ancak ve ancak negatif olabilir (bu durumda özdeğerler −2-2 ve −3-3'tür). Tüm özdeğerleri negatif olan bir matris tanımlı olarak 'negatif tanımlı'dır ve karesel formu tanım gereği her x≠0\mathbf{x} \neq \mathbf{0} için daima sıfırdan küçük değerler alır.

Adım Adım Çözüm

1
Matrisin izi (trace) ve determinantı ile özdeğerleri arasındaki ilişkiyi kurunuz.
İz, özdeğerlerin toplamına (λ1+λ2=−5\lambda_1 + \lambda_2 = -5); determinant ise özdeğerlerin çarpımına (λ1⋅λ2=6\lambda_1 \cdot \lambda_2 = 6) eşittir.
Matris cebirinin temel özelliklerinden dolayı bir matrisin izi özdeğerleri toplamına, determinantı ise özdeğerleri çarpımına eşittir.
2
Özdeğerlerin işaretlerini belirleyiniz.
Çarpımları pozitif (>0>0) ve toplamları negatif (<0<0) olduğu için her iki özdeğer de negatif olmalıdır (örneğin λ1=−2\lambda_1 = -2 ve λ2=−3\lambda_2 = -3).
İki sayının çarpımının pozitif olması için ikisinin de aynı işaretli olması gerekir. Toplamlarının negatif olması, her ikisinin de kesinlikle negatif olduğunu gösterir.
3
Matrisin tanımlılık durumunu değerlendiriniz.
Tüm özdeğerleri negatif olan matris 'Negatif Tanımlı' (Negative Definite) olarak sınıflandırılır.
Bir simetrik matrisin tanımlılık durumu özdeğerlerinin işaretlerine bağlıdır.
4
Karesel formun alacağı değerleri belirleyiniz.
Negatif tanımlı bir matrisin karesel formu her x≠0\mathbf{x} \neq \mathbf{0} için daima sıfırdan küçük ( Q(x)<0Q(\mathbf{x}) < 0 ) değerler alır.
Negatif tanımlılığın geometrik ve cebirsel tanımı gereği.

Anahtar Kavram

İz ve determinant özellikleri kullanılarak özdeğerlerin işaretlerinin bulunması ve buna bağlı olarak karesel formların tanımlılığının belirlenmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Kare Formlar ve Matrislerin Tanımlılığı

Bu konudan daha fazla soru