Examkin

Soru

Zorluk: ZorKare Formlar ve Matrislerin Tanımlılığı

Çok değişkenli analiz uygulamalarında karşılaşılan n×nn \times n boyutlu simetrik bir Σ\mathbf{\Sigma} matrisine ait karesel form, bir x\mathbf{x} sütun vektörü için Q(x)=xTΣxQ(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T \mathbf{\Sigma} \mathbf{x} olarak ifade edilmektedir. Bu matrisin yapılan spektral ayrışımı (özdeğer analizi) sonucunda matrisin belirsiz (indefinite) tanımlılığa sahip olduğu saptanmıştır.

Buna göre, söz konusu matris ve karesel formu için aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. xTΣx=0\mathbf{x}^T \mathbf{\Sigma} \mathbf{x} = 0 eşitliğini sağlayan, sıfır vektöründen farklı en az bir x\mathbf{x} vektörü mevcuttur.Cevap
  2. B
    Matrisin determinantı (özdeğerlerinin çarpımı) durum ne olursa olsun her zaman negatif bir değere eşittir.
  3. C
    Matrisin izi (trace), karesel formun yapısı gereği kesinlikle sıfıra eşittir.
  4. D
    Matrisin asli öncü minörlerinin (leading principal minors) tümü istisnasız sıfırdan küçük değerler alır.
  5. E
    Matrisin özdeğerleri her zaman açıklanan varyansları temsil ettiğinden, karesel form asla negatif değer alamaz.

Cevap

xTΣx=0\mathbf{x}^T \mathbf{\Sigma} \mathbf{x} = 0 eşitliğini sağlayan, sıfır vektöründen farklı en az bir x\mathbf{x} vektörü mevcuttur.
Belirsiz (indefinite) bir matris, karesel formu bazı vektörler için pozitif, bazı vektörler için ise negatif sonuç üreten matristir. Karesel form sürekli bir fonksiyon olduğundan, pozitif bir değerden negatif bir değere geçerken Ara Değer Teoremi (Intermediate Value Theorem) gereği sıfır değerini almak zorundadır. Bu geçişi sağlayan vektörler birbirinden bağımsız olduklarından, orijinden (sıfır vektöründen) farklı, xTΣx=0\mathbf{x}^T \mathbf{\Sigma} \mathbf{x} = 0 koşulunu sağlayan en az bir vektör matematiksel olarak kesinlikle bulunur. Geometrik olarak bu durum, bir semer noktasında (saddle point) yatay düzlemi kesen hatlara karşılık gelir.

Adım Adım Çözüm

1
Belirsiz (indefinite) matris kavramının matematiksel tanımını analiz etmek.
Belirsiz bir Σ\mathbf{\Sigma} matrisinin en az bir pozitif ve en az bir negatif özdeğeri vardır. Dolayısıyla karesel form Q(x)=xTΣxQ(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T \mathbf{\Sigma} \mathbf{x} hem pozitif hem de negatif sonuçlar üretebilir.
Tanımlılık durumu doğrudan karesel formun aldığı değerlerin işaretine bağlıdır.
2
Karesel formun fonksiyonel özelliklerini incelemek.
Karesel form, sürekli (continuous) bir çok değişkenli fonksiyondur. Belirsiz bir matris için Q(u)>0Q(\mathbf{u}) > 0 koşulunu sağlayan bir u\mathbf{u} vektörü ve Q(v)<0Q(\mathbf{v}) < 0 koşulunu sağlayan bir v\mathbf{v} vektörü mevcuttur.
Sürekli bir fonksiyon, birbirine bağlı bir uzayda pozitif bir değerden negatif bir değere geçerken mutlaka sıfır değerini de almalıdır (Ara Değer Teoremi).
3
Sıfır değerini veren vektörün aşikar olup olmadığını (sıfır vektörü olup olmadığını) doğrulamak.
Zıt işaretli sonuçlar veren u\mathbf{u} ve v\mathbf{v} vektörleri lineer bağımsızdır. Bu iki vektörün uygun bir lineer kombinasyonu x=(1−t)u+tv\mathbf{x} = (1-t)\mathbf{u} + t\mathbf{v} alındığında, x≠0\mathbf{x} \neq \mathbf{0} olmasına rağmen Q(x)=0Q(\mathbf{x}) = 0 olan bir tt değeri garantilenir.
Vektörler lineer bağımlı olsaydı, karesel formları aynı işaretli olurdu. Bu yüzden aralarındaki geçiş rotası hiçbir zaman orijinden (sıfır vektöründen) geçmek zorunda kalmadan sıfır seviyesini keser.

Anahtar Kavram

Belirsiz (Indefinite) Matrislerin Geometrik Özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kare Formlar ve Matrislerin Tanımlılığı

Bu konudan daha fazla soru