Examkin

Soru

Zorluk: ZorKare Formlar ve Matrislerin Tanımlılığı

Çok değişkenli istatistiksel analizlerde karesel formların yapısını inceleyen bir araştırmacı, 3×33 \times 3 boyutlu simetrik bir A\mathbf{A} matrisinin izini (trace) 66, determinantını ise −8-8 olarak hesaplamıştır. Bu matrisin özdeğerlerinden birinin 44 olduğu bilinmektedir.

Araştırmacı, A\mathbf{A} matrisini kullanarak B=A2−2A\mathbf{B} = \mathbf{A}^2 - 2\mathbf{A} dönüşümü ile yeni bir B\mathbf{B} matrisi elde etmiştir.

Buna göre, A\mathbf{A} ve B\mathbf{B} matrislerinin tanımlılık durumları sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

  1. A
    \mathbf{A} matrisi pozitif tanımlı, \mathbf{B} matrisi pozitif tanımlıdır
  2. B
    \mathbf{A} matrisi belirsiz (indefinite), \mathbf{B} matrisi belirsizdir
  3. \mathbf{A} matrisi belirsiz (indefinite), \mathbf{B} matrisi pozitif tanımlıdırCevap
  4. D
    \mathbf{A} matrisi negatif tanımlı, \mathbf{B} matrisi belirsizdir
  5. E
    \mathbf{A} matrisi belirsiz (indefinite), \mathbf{B} matrisi negatif yarı-tanımlıdır

Cevap

\mathbf{A} matrisinin özdeğerleri hem pozitif hem negatif değerler içerdiğinden belirsiz (indefinite), \mathbf{B} matrisinin tüm özdeğerleri pozitif olarak hesaplandığından pozitif tanımlıdır.
\mathbf{A} matrisinin özdeğerleri 44, 1+31+\sqrt{3} ve 1−31-\sqrt{3} olarak bulunur. İçinde hem pozitif hem de negatif özdeğer barındırdığı için A\mathbf{A} belirsizdir (indefinite). B=A2−2A\mathbf{B} = \mathbf{A}^2 - 2\mathbf{A} dönüşümü sonrasında B\mathbf{B}'nin özdeğerleri sırasıyla 88, 22 ve 22 olur. Tüm özdeğerler sıfırdan büyük olduğu için B\mathbf{B} matrisi pozitif tanımlıdır.

Adım Adım Çözüm

1
\mathbf{A} matrisinin eksik özdeğerlerini belirlemek için iz ve determinant özelliklerini kullanma.
\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 6 \implies 4 + \lambda_2 + \lambda_3 = 6 \implies \lambda_2 + \lambda_3 = 2.
\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = -8 \implies 4 \lambda_2 \lambda_3 = -8 \implies \lambda_2 \lambda_3 = -2.
Bir matrisin izi özdeğerlerinin toplamına, determinantı ise özdeğerlerinin çarpımına eşittir.
2
Elde edilen denklemlerden \lambda_2 ve \lambda_3 değerlerini bularak \mathbf{A} matrisinin tanımlılığını belirleme.
Kökleri toplamı 2, çarpımı -2 olan ikinci derece denklem x^2 - 2x - 2 = 0'dır. Kökler \lambda_{2,3} = 1 \pm \sqrt{3} olarak bulunur. Özdeğerler kümesi \{4, 1+\sqrt{3}, 1-\sqrt{3}\} olup, (1-\sqrt{3}) negatif bir değerdir. Hem pozitif hem negatif özdeğer olduğu için \mathbf{A} matrisi belirsizdir (indefinite).
Tanımlılık durumu tüm özdeğerlerin işaretine bağlıdır.
3
\mathbf{B} = \mathbf{A}^2 - 2\mathbf{A} matrisinin özdeğerlerini (\mu_i) hesaplama.
\mu_1 = 4^2 - 2(4) = 8.
\mu_2 = (1+\sqrt{3})^2 - 2(1+\sqrt{3}) = 1 + 2\sqrt{3} + 3 - 2 - 2\sqrt{3} = 2.
\mu_3 = (1-\sqrt{3})^2 - 2(1-\sqrt{3}) = 1 - 2\sqrt{3} + 3 - 2 + 2\sqrt{3} = 2.
Bir \mathbf{A} matrisinin özdeğeri \lambda ise, P(\mathbf{A}) polinom matrisinin özdeğeri P(\lambda) olur.
4
\mathbf{B} matrisinin tanımlılık durumunu belirleme.
Tüm \mu_i özdeğerleri (8, 2, 2) sıfırdan büyük olduğu için \mathbf{B} matrisi pozitif tanımlıdır.
Bir matrisin tüm özdeğerleri pozitif ise o matris pozitif tanımlıdır.

Anahtar Kavram

Bir matrisin özdeğerlerinin polinom dönüşümleri altındaki davranışları ve özdeğer işaretlerinin tanımlılık durumunu belirlemedeki rolü.
Bu soruyu puanla

Konular

Kare Formlar ve Matrislerin Tanımlılığı

Bu konudan daha fazla soru