Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKare Formlar ve Matrislerin Tanımlılığı

Çok değişkenli istatistiksel analizlerde, bir x\mathbf{x} rasgele vektörü ve simetrik bir Σ\mathbf{\Sigma} matrisi yardımıyla tanımlanan karesel formların (quadratic forms) aldığı değerler, matrisin tanımlılık durumuna bağlıdır.

Bir araştırmacı, katsayılarını belirlediği aşağıdaki 3×33 \times 3 boyutlu simetrik A\mathbf{A} matrisinin tanımlılık özelliklerini incelemektedir:

A=[2202k4044] \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 2 & k & 4 \\ 0 & 4 & 4 \end{bmatrix}

Buna göre, A\mathbf{A} matrisinin karesel formu ve tanımlılık durumu ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

  1. k>6k > 6 koşulunu sağlayan değerler için matris pozitif tanımlıdır.Cevap
  2. B
    k=6k = 6 durumunda matris negatif yarı-tanımlı özellik gösterir.
  3. C
    k=5k = 5 değeri için matris pozitif yarı-tanımlıdır.
  4. D
    k>2k > 2 koşulunu sağlayan tüm değerler için matris pozitif tanımlıdır.
  5. E
    k<6k < 6 olan tüm durumlarda matris negatif tanımlı hâle gelir.

Cevap

A\mathbf{A} matrisinin pozitif tanımlı olması için tüm asli öncü minörlerinin sıfırdan büyük olması gerektiğinden, bu şartı sağlayan k > 6 değerleri için matris pozitif tanımlıdır.
Sylvester Kriteri'ne göre simetrik bir matrisin pozitif tanımlı olabilmesi için tüm asli öncü minörlerinin (leading principal minors) kesinlikle sıfırdan büyük olması gerekir. Verilen matriste Δ1=2>0\Delta_1 = 2 > 0 ve Δ2=2k−4>0⇒k>2\Delta_2 = 2k - 4 > 0 \Rightarrow k > 2 şeklindedir. Üçüncü asli öncü minör olan determinant ise Δ3=2(4k−16)−2(8)=8k−48\Delta_3 = 2(4k - 16) - 2(8) = 8k - 48 olarak hesaplanır. Pozitif tanımlılık için Δ3>0⇒8k−48>0⇒k>6\Delta_3 > 0 \Rightarrow 8k - 48 > 0 \Rightarrow k > 6 olmalıdır. k>6k > 6 aralığı, k>2k > 2 şartını da kapsadığı için matris yalnızca k>6k > 6 durumunda pozitif tanımlı olur.

Adım Adım Çözüm

1
Matrisin birinci ve ikinci mertebeden asli öncü minörlerini (leading principal minors) hesaplamak.
Δ1=2>0\Delta_1 = 2 > 0 ve Δ2=(2×k)−(2×2)=2k−4\Delta_2 = (2 \times k) - (2 \times 2) = 2k - 4 bulunur.
Sylvester kriterini uygulamak için sol üst köşeden başlayan alt matrislerin determinantları bulunmalıdır.
2
Matrisin üçüncü mertebeden asli öncü minörünü (determinantını) hesaplamak.
Δ3=2(4k−16)−2(8)+0=8k−48\Delta_3 = 2(4k - 16) - 2(8) + 0 = 8k - 48 olarak bulunur.
Pozitif tanımlılık için tüm mertebelerdeki asli öncü minörlerin değerlerine ihtiyaç vardır.
3
Pozitif tanımlılık şartını tüm minörler için eşitsizlik sistemi olarak çözmek.
Δ1=2>0\Delta_1 = 2 > 0 sağlanır. Δ2=2k−4>0⇒k>2\Delta_2 = 2k - 4 > 0 \Rightarrow k > 2 ve Δ3=8k−48>0⇒k>6\Delta_3 = 8k - 48 > 0 \Rightarrow k > 6 elde edilir.
Matrisin pozitif tanımlı olması için tüm Δi>0\Delta_i > 0 koşullarının aynı anda (kesişim kümesinde) sağlanması zorunludur.

Anahtar Kavram

Sylvester Kriteri ve Asli Öncü Minörler ile Tanımlılık Testi

Alternatif Yöntem

Matrisin köşegen elemanlarına ve determinantına bakılarak, tanımlılık durumunun teorik tanımı üzerinden şık elemeleri yapılabilir. Birinci köşegen elemanı (2) pozitif olduğundan, bu matrisin hiçbir k değeri için negatif tanımlı veya negatif yarı-tanımlı olamayacağı (Çünkü x=[1,0,0]Tx = [1, 0, 0]^T için Q(x)=2>0Q(x) = 2 > 0 verir) doğrudan söylenerek ilgili seçenekler hesaplama yapmadan elenebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kare Formlar ve Matrislerin Tanımlılığı

Bu konudan daha fazla soru