Bir biyolog, iki farklı göldeki belirli bir balık türünün ağırlıklarındaki değişkenliği in… — KPSS İstatistik

Bir biyolog, iki farklı göldeki belirli bir balık türünün ağırlıklarındaki değişkenliği incelemektedir. A gölünden rastgele yakalanan 13 balığın ağırlıklarının örneklem varyansı $S_A^2 = 25\text{ g}^2$ , B gölünden rastgele yakalanan 16 balığın ağırlıklarının örneklem varyansı ise $S_B^2 = 15\text{ g}^2$ olarak hesaplanmıştır.

Balık ağırlıklarının her iki gölde de bağımsız ve normal dağılıma sahip olduğu bilindiğine göre, A gölündeki balıkların ağırlık varyansının B gölündeki balıkların ağırlık varyansına oranı $\left( \frac{\sigma_A^2}{\sigma_B^2} \right)$ için hesaplanacak \%90'lık güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?

$\left[ \frac{25}{15} \frac{1}{F_{0.05; 12, 15}} , \frac{25}{15} F_{0.05; 15, 12} \right]$ Cevap
B
$\left[ \frac{25}{15} \frac{1}{F_{0.05; 13, 16}} , \frac{25}{15} F_{0.05; 16, 13} \right]$
C
$\left[ \frac{15}{25} \frac{1}{F_{0.05; 15, 12}} , \frac{15}{25} F_{0.05; 12, 15} \right]$
D
$\left[ \frac{25}{15} \frac{1}{F_{0.05; 15, 12}} , \frac{25}{15} F_{0.05; 12, 15} \right]$
E
$\left[ \frac{25}{15} - z_{0.05} \sqrt{ \frac{25}{13} + \frac{15}{16} } , \frac{25}{15} + z_{0.05} \sqrt{ \frac{25}{13} + \frac{15}{16} } \right]$

Cevap

İki varyans oranı için doğru güven aralığı, serbestlik dereceleri 12 ve 15 olan F dağılımına ait kritik değerlerin kullanıldığı formüldür.

Doğru cevap, iki kitle varyansının oranı için güven aralığı hesaplanırken F dağılımının kullanıldığı ve örneklem hacimlerinin 1 eksiği olan serbestlik derecelerinin (12 ve 15) doğru formülde yerine konulduğu seçenektir. Formül gereği alt sınır

\frac{S_A^2}{S_B^2} \frac{1}{F_{\alpha/2; n_A-1, n_B-1}}

ve üst sınır

\frac{S_A^2}{S_B^2} F_{\alpha/2; n_B-1, n_A-1}

olmalıdır.

Adım Adım Çözüm

Verilen örneklem istatistiklerini ve güven düzeyini belirleme

n_A = 13

S_A^2 = 25

n_B = 16

S_B^2 = 15

ve güven düzeyi

1 - \alpha = 0.90

(buradan

\alpha = 0.10

\alpha/2 = 0.05

bulunur).

Güven aralığı formülünde kullanılacak parametreleri açıkça ortaya koymak için.

F dağılımı için serbestlik derecelerini hesaplama

Pay serbestlik derecesi

\nu_1 = n_A - 1 = 12

, payda serbestlik derecesi

\nu_2 = n_B - 1 = 15

Varyansların oranına ait güven aralığında F dağılımının serbestlik dereceleri örneklem hacimlerinin bir eksiğidir.

İki kitle varyans oranı için güven aralığı formülünü yazma

Alt sınır:

\frac{S_A^2}{S_B^2} \frac{1}{F_{\alpha/2; \nu_1, \nu_2}}

, Üst sınır:

\frac{S_A^2}{S_B^2} F_{\alpha/2; \nu_2, \nu_1}

Kitle varyansları oranını tahmin etmek için örneklem varyansları oranı ve F kritik değerleri kullanılır.

Değerleri formülde yerine koyarak aralığı oluşturma

\left[ \frac{25}{15} \frac{1}{F_{0.05; 12, 15}} , \frac{25}{15} F_{0.05; 15, 12} \right]

aralığı elde edilir.

Hesaplanan tüm değerler formülde yerlerine yerleştirildiğinde \%90'lık güven aralığı bulunmuş olur.

Anahtar Kavram

İki kitle varyansları oranı güven aralığı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru