Examkin

Soru

Zorluk: ZorDeterminant ve Özellikleri

Çok değişkenli istatistiksel analizlerde matris cebiri işlemleri önemli bir yer tutmaktadır. p=3p=3 değişkenli bir veri setine ait işlemler sırasında 3×33 \times 3 boyutlu kare AA ve BB matrisleri tanımlanmıştır.

AA matrisinin özdeğerlerinden ikisi λ1=2\lambda_1 = 2 ve λ2=4\lambda_2 = 4 olarak verilmiştir. Ayrıca AA matrisinin izi (trace) tr(A)=9tr(A) = 9'dur.
BB matrisinin determinantı ise ∣B∣=16|B| = 16 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, M=12A2BTA−1M = \frac{1}{2} A^2 B^T A^{-1} eşitliği ile tanımlanan MM matrisinin determinantı (∣M∣|M|) kaçtır?

  1. A
    4
  2. B
    18
  3. 48Cevap
  4. D
    96
  5. E
    192

Cevap

İşlemler sonucunda M matrisinin determinantı 48 olarak bulunur.
Doğru sonuca ulaşmak için determinant özelliklerinin sırasıyla eksiksiz uygulanması gerekir. İlk olarak AA matrisinin izinin (9) özdeğerlerin toplamına eşit olmasından yararlanarak λ3=3\lambda_3 = 3 bulunur. Determinant, özdeğerlerin çarpımı olduğundan ∣A∣=2×4×3=24|A| = 2 \times 4 \times 3 = 24 elde edilir. İstenen MM matrisinin determinantı alınırken sırasıyla; skaler 12\frac{1}{2} dışarıya (12)3=18(\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8} olarak çıkar. Çarpımın determinantı kuralı uygulanır ve ∣A2∣=∣A∣2|A^2| = |A|^2, ∣BT∣=∣B∣|B^T| = |B|, ∣A−1∣=1∣A∣|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} eşitlikleri kullanılarak ifade sadeleştirilir. İfade ∣M∣=18⋅∣A∣⋅∣B∣|M| = \frac{1}{8} \cdot |A| \cdot |B| haline gelir. Değerler yerine konduğunda sonuç 18⋅24⋅16=48\frac{1}{8} \cdot 24 \cdot 16 = 48 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
AA matrisinin bilinmeyen üçüncü özdeğerini hesaplamak
λ3=3\lambda_3 = 3
Bir kare matrisin izi (trace), özdeğerlerinin toplamına eşittir: tr(A)=λ1+λ2+λ3⇒9=2+4+λ3tr(A) = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 \Rightarrow 9 = 2 + 4 + \lambda_3.
2
AA matrisinin determinantını hesaplamak
∣A∣=24|A| = 24
Bir matrisin determinantı, özdeğerlerinin çarpımına eşittir: ∣A∣=2×4×3=24|A| = 2 \times 4 \times 3 = 24.
3
MM matrisinin determinant formülünü özellikler yardımıyla genişletmek
∣M∣=(12)3⋅∣A∣2⋅∣B∣⋅1∣A∣|M| = (\frac{1}{2})^3 \cdot |A|^2 \cdot |B| \cdot \frac{1}{|A|}
Determinant özellikleri sırasıyla uygulanır: ∣kA∣=kn∣A∣|kA| = k^n|A| (burada n=3n=3), ∣AT∣=∣A∣|A^T| = |A|, ∣A2∣=∣A∣2|A^2| = |A|^2, ∣A−1∣=1/∣A∣|A^{-1}| = 1/|A| ve çarpım kuralı ∣ABC∣=∣A∣∣B∣∣C∣|ABC| = |A||B||C|.
4
Elde edilen ifadede sadeleştirme yaparak nihai sonucu hesaplamak
∣M∣=18⋅∣A∣⋅∣B∣=18⋅24⋅16=48|M| = \frac{1}{8} \cdot |A| \cdot |B| = \frac{1}{8} \cdot 24 \cdot 16 = 48
İfadedeki ∣A∣2|A|^2 ile 1/∣A∣1/|A| sadeleşir ve bilinen değerler formülde yerine konur.

Anahtar Kavram

Matrislerin determinant özellikleri ve özdeğer-iz ilişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Determinant ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru