Examkin

Soru

Zorluk: ZorDeterminant ve Özellikleri

Bir araştırmacı, p=3p=3 değişkenli bir rastgele vektör olan XX'in varyans-kovaryans matrisini Σ\Sigma olarak elde etmiştir. Yapılan analizde Σ\Sigma matrisinin özdeğerleri λ1=2\lambda_1 = 2, λ2=2\lambda_2 = 2 ve λ3=3\lambda_3 = 3 olarak hesaplanmıştır.

Araştırmacı, verileri yeni bir YY vektörüne dönüştürmek amacıyla Y=2PXY = 2PX doğrusal dönüşümünü uygulamıştır. Burada PP, 3×33 \times 3 boyutlu bir ortogonal (dik) matristir.

Buna göre, yeni oluşturulan YY vektörünün genelleştirilmiş varyansı (varyans-kovaryans matrisinin determinantı) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    24
  2. B
    48
  3. C
    96
  4. 768Cevap
  5. E
    448

Cevap

Yeni oluşturulan Y vektörünün genelleştirilmiş varyansı 768'dir.
Doğru yanıt, dönüşüm sabitinin karesi olan 4 değerini determinant dışına çıkarırken matris boyutu olan 3'ü üs olarak kullanan (43=644^3=64) ve ortogonal matrislerin determinant çarpımlarının 1 olması özelliğini uygulayarak, başlangıç matrisinin determinantı (özdeğerler çarpımı olan 12) ile çarpan değerdir.

Adım Adım Çözüm

1
XX vektörünün genelleştirilmiş varyansını (Σ\Sigma matrisinin determinantını) hesaplama
∣Σ∣=12|\Sigma| = 12
Bir matrisin determinantı (genelleştirilmiş varyans), o matrisin özdeğerlerinin çarpımına eşittir (2×2×3=122 \times 2 \times 3 = 12).
2
YY vektörünün varyans-kovaryans matrisini tanımlama
ΣY=4PΣP′\Sigma_Y = 4P\Sigma P'
Y=cAXY = cAX gibi bir doğrusal dönüşümde, yeni vektörün varyans-kovaryans matrisi ΣY=c2AΣA′\Sigma_Y = c^2 A\Sigma A' formülü ile elde edilir. Sabit sayı (2) karesi alınarak (4) matris çarpımına dahil olur.
3
Yeni varyans-kovaryans matrisinin determinant formülünü açma
∣ΣY∣=∣4PΣP′∣=43×∣P∣×∣Σ∣×∣P′∣|\Sigma_Y| = |4P\Sigma P'| = 4^3 \times |P| \times |\Sigma| \times |P'|
Bir kk skaleri p×pp \times p boyutlu bir matrisin determinantı dışına kpk^p olarak çıkar (burada p=3p=3). Ayrıca çarpımın determinantı, determinantların çarpımına eşittir (∣ABC∣=∣A∣∣B∣∣C∣|ABC| = |A||B||C|).
4
Ortogonal matris özelliğini kullanarak nihai sonucu bulma
64×1×12=76864 \times 1 \times 12 = 768
PP ortogonal (dik) bir matris olduğu için PP′=IP P' = I özelliğini taşır, bu nedenle determinantları çarpımı ∣P∣∣P′∣=1|P||P'| = 1'dir. Sonuç 43×12=7684^3 \times 12 = 768 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Determinant Özellikleri ve Genelleştirilmiş Varyans
Bu soruyu puanla

Konular

Determinant ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru