Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDeterminant ve Özellikleri

Bir veri analisti, 3×33 \times 3 boyutlu kare matrisler üzerinde doğrusal dönüşüm işlemleri gerçekleştirmektedir. Analiz kapsamında kullanılan singüler olmayan (tersinir) bir AA matrisinin determinantı ∣A∣=2|A| = 2 olarak hesaplanmıştır. Ayrıca işlemlerde yer alan bir BB matrisinin özdeğerleri sırasıyla λ1=1\lambda_1 = 1, λ2=2\lambda_2 = 2 ve λ3=−1\lambda_3 = -1 olarak belirlenmiştir.

Buna göre, det⁡(−2A−1BT)\det(-2 A^{-1} B^T) ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    -8
  2. B
    -2
  3. C
    2
  4. 8Cevap
  5. E
    32

Cevap

İfadenin doğru değeri 8'dir. Bu sonuca ulaşmak için determinantın özellikleri adım adım uygulanmalıdır.
İfadenin doğru hesaplanabilmesi için dört temel özelliğin bilinmesi gerekir: Skaler bir katsayı nn boyutlu matrisin determinantı dışına (−2)n(-2)^n olarak çıkar ve n=3n=3 için bu değer −8-8'dir. Ters matrisin determinantı, asıl matrisin determinantının tersidir (1/21/2). Transpoz matrisin determinantı aslıyla aynıdır. BB matrisinin determinantı ise özdeğerlerinin çarpımı olan −2-2'dir. Tüm bu bileşenler çarpıldığında (−8⋅0.5⋅−2-8 \cdot 0.5 \cdot -2) sonuç 8 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
AA ve BB matrislerinin 3×33 \times 3 boyutlu olduğu bilgisiyle, skaler çarpımın determinant dışına çıkarılma kuralını uygulamak.
det⁡(−2A−1BT)=(−2)3⋅det⁡(A−1)⋅det⁡(BT)=−8⋅det⁡(A−1)⋅det⁡(BT)\det(-2 A^{-1} B^T) = (-2)^3 \cdot \det(A^{-1}) \cdot \det(B^T) = -8 \cdot \det(A^{-1}) \cdot \det(B^T)
Bir n×nn \times n matris MM ve skaler cc için det⁡(cM)=cndet⁡(M)\det(cM) = c^n \det(M) kuralı geçerlidir.
2
Ters matrisin ve transpoz matrisin determinant özelliklerini denkleme uygulamak.
det⁡(A−1)=1det⁡(A)=12\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{2} ve det⁡(BT)=det⁡(B)\det(B^T) = \det(B)
Ters matrisin determinantı orijinal matrisin determinantının çarpmaya göre tersidir. Transpoz matrisin determinantı ise kendisine eşittir.
3
BB matrisinin determinantını, verilen özdeğerleri üzerinden hesaplamak.
det⁡(B)=λ1⋅λ2⋅λ3=1⋅2⋅(−1)=−2\det(B) = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdot \lambda_3 = 1 \cdot 2 \cdot (-1) = -2
Bir kare matrisin determinantı, her zaman o matrisin özdeğerlerinin çarpımına eşittir.
4
Elde edilen tüm değerleri ana denklemde yerine koyarak sonucu hesaplamak.
−8⋅(12)⋅(−2)=−4⋅(−2)=8-8 \cdot \left(\frac{1}{2}\right) \cdot (-2) = -4 \cdot (-2) = 8
Ayrı ayrı hesaplanan özellik değerleri birleştirildiğinde nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Determinant özellikleri (Skaler çarpım, ters matris, transpoz ve özdeğer ilişkisi)
Bu soruyu puanla

Konular

Determinant ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru