Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDeterminant ve Özellikleri

Bir finansal portföy risk analizinde, varlıklar arasındaki ilişkileri modellemek üzere 4×44 \times 4 boyutunda AA ve BB yapı matrisleri oluşturulmuştur.

Analiz kapsamında, AA matrisinin karakteristik köklerinin (özdeğerlerinin) çarpımı 22, BB matrisinin karakteristik köklerinin çarpımı ise 44 olarak belirlenmiştir.

Risk ağırlıklarını yeniden ölçeklendirmek amacıyla K=2AB−1K = 2AB^{-1} formülüyle yeni bir KK dönüşüm matrisi tanımlanmıştır.

Buna göre, oluşturulan KK matrisinin determinant değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    1
  2. B
    2
  3. 8Cevap
  4. D
    128
  5. E
    -128

Cevap

Doğru cevap 8'dir.
Doğru cevap 8'dir. Bir matrisin özdeğerlerinin çarpımı o matrisin determinantına eşittir, dolayısıyla ∣A∣=2|A|=2 ve ∣B∣=4|B|=4'tür. 4×44 \times 4 boyutlu bir matris skaler ile çarpıldığında determinantı ∣cM∣=cn∣M∣|cM| = c^n|M| kuralı gereği hesaplanır. K=2AB−1K = 2AB^{-1} ifadesinin determinantı ∣K∣=24⋅∣A∣⋅∣B−1∣|K| = 2^4 \cdot |A| \cdot |B^{-1}| şeklinde açılır. ∣B−1∣=1/∣B∣|B^{-1}| = 1/|B| olduğundan, eşitlik 16⋅2⋅(1/4)16 \cdot 2 \cdot (1/4) hâlini alır ve buradan sonuç 88 olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
AA ve BB matrislerinin determinantlarını bulma.
∣A∣=2|A| = 2 ve ∣B∣=4|B| = 4
Bir matrisin karakteristik köklerinin (özdeğerlerinin) çarpımı, o matrisin determinantına eşittir.
2
∣K∣=∣2AB−1∣|K| = |2AB^{-1}| eşitliğindeki 22 skaler katsayısını determinant dışına çıkarma.
∣K∣=24⋅∣AB−1∣=16⋅∣AB−1∣|K| = 2^4 \cdot |AB^{-1}| = 16 \cdot |AB^{-1}|
n×nn \times n boyutlu bir matris cc skaleriyle çarpıldığında determinantı cnc^n çarpanı alır (∣cM∣=cn∣M∣|cM| = c^n|M|).
3
Matris çarpımının ve ters matrisin determinant özelliklerini uygulama.
∣AB−1∣=∣A∣⋅∣B−1∣=∣A∣⋅1∣B∣=2⋅14=12|AB^{-1}| = |A| \cdot |B^{-1}| = |A| \cdot \frac{1}{|B|} = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}
Çarpımın determinantı determinantlar çarpımına (∣XY∣=∣X∣∣Y∣|XY|=|X||Y|) ve ters matrisin determinantı determinantın tersine (∣X−1∣=1/∣X∣|X^{-1}|=1/|X|) eşittir.
4
Elde edilen değerleri yerine koyarak nihai sonucu hesaplama.
∣K∣=16⋅12=8|K| = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8
Skalerden gelen çarpan (1616) ile matrislerin determinant çarpımı (1/21/2) çarpılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Determinant ve Özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Determinant ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru