Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDeterminant ve Özellikleri

Çok değişkenli istatistiksel analizler yürüten bir araştırmacı, 3×33 \times 3 boyutlu XX ve YY kare matrisleri ile çalışmaktadır. Yapılan hesaplamalar sonucunda, XX matrisinin özdeğerleri (karakteristik kökleri) sırasıyla λ1=2\lambda_1 = 2, λ2=3\lambda_2 = 3 ve λ3=−1\lambda_3 = -1 olarak bulunmuştur. YY matrisinin determinant değeri ise 22 olarak hesaplanmıştır.

Verilen bu bilgilere göre, det⁡(2XTY−1)\det(2X^TY^{-1}) ifadesinin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    -96
  2. -24Cevap
  3. C
    -6
  4. D
    4
  5. E
    16

Cevap

det⁡(2XTY−1)\det(2X^TY^{-1}) ifadesinin sonucu -24'tür.
Verilen XX ve YY matrisleri 3×33 \times 3 boyutludur. XX matrisinin determinantı özdeğerlerinin çarpımı ile bulunur: det⁡(X)=2×3×(−1)=−6\det(X) = 2 \times 3 \times (-1) = -6. Determinant özelliklerine göre det⁡(XT)=det⁡(X)=−6\det(X^T) = \det(X) = -6 ve det⁡(Y−1)=1det⁡(Y)=12\det(Y^{-1}) = \frac{1}{\det(Y)} = \frac{1}{2} olur. Skaler çarpan matris dışına çıkarken matrisin boyutu kadar üs alır. Bu nedenle det⁡(2XTY−1)=23×det⁡(XT)×det⁡(Y−1)=8×(−6)×12=−24\det(2X^TY^{-1}) = 2^3 \times \det(X^T) \times \det(Y^{-1}) = 8 \times (-6) \times \frac{1}{2} = -24 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
XX matrisinin determinantını hesaplama
det⁡(X)=2×3×(−1)=−6\det(X) = 2 \times 3 \times (-1) = -6
Bir matrisin determinantı, o matrisin özdeğerlerinin çarpımına eşittir.
2
XTX^T ve Y−1Y^{-1} matrislerinin determinantlarını bulma
det⁡(XT)=−6\det(X^T) = -6 ve det⁡(Y−1)=12\det(Y^{-1}) = \frac{1}{2}
Transpoze işleminin determinanta etkisi yoktur. Bir matrisin tersinin determinantı ise orijinal determinantın çarpmaya göre tersidir.
3
Skaler çarpımın determinantını ve nihai sonucu hesaplama
det⁡(2XTY−1)=23×(−6)×12=−24\det(2X^TY^{-1}) = 2^3 \times (-6) \times \frac{1}{2} = -24
n×nn \times n boyutlu bir matris kk skaleri ile çarpıldığında determinant knk^n ile çarpılır. Çarpım durumundaki matrislerin determinantı, determinantların çarpımıdır.

Anahtar Kavram

Determinant Özellikleri ve Özdeğer İlişkisi
Bu soruyu puanla

Konular

Determinant ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru