Bir araştırmacı X_1, X_2 ve X_3 değişkenlerinden oluşan bir veri seti üzerinde varyans-kov… — KPSS İstatistik

Bir araştırmacı $X_1, X_2$ ve $X_3$ değişkenlerinden oluşan bir veri seti üzerinde varyans-kovaryans matrisini kullanarak Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır. Analiz sonucunda elde edilen özdeğerler aşağıda verilmiştir:

Özdeğer	Değer
$\lambda_1$	15
$\lambda_2$	9
$\lambda_3$	6

Birinci temel bileşene ( $Y_1$ ) ait katsayılar vektörü $e_1' = [a, 0, 0,6]$ olarak belirlendiğine göre, $Y_1$ bileşeninin varyansı ( $Var(Y_1)$ ) ve $a$ katsayısının pozitif değeri aşağıdakilerden hangisidir?

15 ve 0,8Cevap
B
15 ve 0,64
C
30 ve 0,8
D
9 ve 0,8
E
15 ve 0,4

Cevap

Birinci temel bileşenin varyansı 15 ve

a

katsayısının değeri 0,8'dir.

Temel Bileşenler Analizi'nde temel bileşenlerin varyansları, kullanılan matrisin özdeğerlerine eşittir. En büyük varyansa sahip olan birinci temel bileşenin varyansı en büyük özdeğer olan 15'tir. Ayrıca, temel bileşenleri oluşturan doğrusal kombinasyonların katsayılar vektörü normalize edilmiştir; bu nedenle katsayıların kareleri toplamı 1 olmalıdır (

a^2 + 0^2 + 0,6^2 = 1

). Buradan

a=0,8

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Birinci temel bileşenin varyansını belirleyin.

Var(Y_1) = \lambda_1 = 15

Varyans-kovaryans matrisi üzerinden yapılan TBA'da,

i

. temel bileşenin varyansı

i

. özdeğere eşittir.

Katsayılar vektörü için normalizasyon kuralını yazın.

a^2 + 0^2 + 0,6^2 = 1

Temel bileşen katsayılar vektörü (özvektör) birim uzunlukta olmalıdır, yani katsayıların kareleri toplamı 1'e eşit olmalıdır.

Denklemi çözerek

a

değerini bulun.

a^2 + 0,36 = 1 \implies a^2 = 0,64 \implies a = 0,8

a^2 = 1 - 0,36

işlemi yapılarak

a

katsayısının pozitif değeri hesaplanır.

Anahtar Kavram

Temel Bileşen Varyansı ve Özvektör Normalizasyonu

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular