Examkin

Soru

Zorluk: ZorBayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım
Bir üretim hattında üretilen elektronik parçaların kalite kontrol sürecinde, ilk kusurlu parça bulunana kadar incelenen toplam parça sayısı XX rassal değişkeni ile modellenmektedir. XX değişkeninin, kusurlu parça bulma olasılığı pp olan Geometrik dağılıma sahip olduğu bilinmektedir:
f(x∣p)=p(1−p)x−1,x=1,2,3,…f(x|p) = p(1-p)^{x-1}, \quad x = 1, 2, 3, \dots

Kalite kontrol uzmanı, pp parametresi için α=2\alpha=2 ve β=3\beta=3 parametreli Beta dağılımını önsel (prior) dağılım olarak belirlemiştir.
Rastgele seçilen 4 farklı denetim sürecinde, ilk kusurlu parça bulunana kadar sırasıyla 3, 5, 4 ve 2 adet parça incelenmiştir.

Uzman, pp parametresini tahmin etmek için L(p,p^)=(p−p^)2pL(p, \hat{p}) = \frac{(p - \hat{p})^2}{p} biçimindeki ağırlıklı karesel hata kayıp fonksiyonunu kullanmaktadır.

Buna göre, pp parametresinin Bayes tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    619\frac{6}{19}
  2. B
    27\frac{2}{7}
  3. 518\frac{5}{18}Cevap
  4. D
    522\frac{5}{22}
  5. E
    720\frac{7}{20}

Cevap

Doğru yanıt 518\frac{5}{18}'dir.
Verilen Geometrik dağılım ve Beta önseli için sonsal dağılım Beta(6,13)\text{Beta}(6, 13) olarak elde edilir. Kullanılan ağırlıklı karesel hata kayıp fonksiyonu L(p,p^)=p−1(p−p^)2L(p, \hat{p}) = p^{-1}(p - \hat{p})^2 formunda olduğundan, riski minimize eden Bayes tahmin edicisi p^B=E[p⋅p−1∣x]E[p−1∣x]=1E[p−1∣x]\hat{p}_B = \frac{E[p \cdot p^{-1}|x]}{E[p^{-1}|x]} = \frac{1}{E[p^{-1}|x]} şeklinde hesaplanır. Beta(6,13)\text{Beta}(6, 13) dağılımı için E[p−1∣x]=6+13−16−1=185E[p^{-1}|x] = \frac{6+13-1}{6-1} = \frac{18}{5} bulunur. Bu değerin tersi alındığında sonuç 518\frac{5}{18} çıkmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Önsel (prior) dağılım ve olabilirlik (likelihood) fonksiyonunu belirle.
Önsel: π(p)∝p2−1(1−p)3−1=p(1−p)2\pi(p) \propto p^{2-1}(1-p)^{3-1} = p(1-p)^2
Olabilirlik (n=4n=4 gözlem, ∑xi=14\sum x_i = 14): L(p∣x)=∏i=14p(1−p)xi−1=p4(1−p)14−4=p4(1−p)10L(p|x) = \prod_{i=1}^4 p(1-p)^{x_i-1} = p^4(1-p)^{14-4} = p^4(1-p)^{10}
Sonsal (posterior) dağılımı elde etmek için Bayes teoremi gereği önsel dağılım ile olabilirlik fonksiyonu çarpılmalıdır.
2
Sonsal dağılımı hesapla.
π(p∣x)∝p(1−p)2⋅p4(1−p)10=p5(1−p)12\pi(p|x) \propto p(1-p)^2 \cdot p^4(1-p)^{10} = p^5(1-p)^{12}
Bu ifade, α∗=6\alpha^*=6 ve β∗=13\beta^*=13 parametreli Beta(6, 13) dağılımının çekirdeğidir.
Bayes tahmin edicisi, sonsal dağılım üzerinden hesaplanacak beklenen değere dayanır.
3
Verilen ağırlıklı karesel hata kayıp fonksiyonu için Bayes tahmin edicisi formülünü uygula.
L(p,p^)=p−1(p−p^)2L(p, \hat{p}) = p^{-1}(p - \hat{p})^2 formunda olduğundan, problemi minimize eden Bayes tahmin edicisi formülü p^B=E[p⋅w(p)∣x]E[w(p)∣x]\hat{p}_B = \frac{E[p \cdot w(p)|x]}{E[w(p)|x]} yapısından hareketle p^B=E[p⋅p−1∣x]E[p−1∣x]=1E[p−1∣x]\hat{p}_B = \frac{E[p \cdot p^{-1}|x]}{E[p^{-1}|x]} = \frac{1}{E[p^{-1}|x]} olarak bulunur.
Ağırlıklı karesel hata fonksiyonlarında, riski minimize eden tahmin edici ilgili ağırlık fonksiyonu oranı ile bulunur.
4
Sonsal dağılım üzerinden E[p−1∣x]E[p^{-1}|x] değerini hesapla ve tahmin ediciyi bul.
X∼Beta(α,β)X \sim \text{Beta}(\alpha, \beta) için E[X−1]=α+β−1α−1E[X^{-1}] = \frac{\alpha+\beta-1}{\alpha-1}'dir.
Beta(6,13)\text{Beta}(6, 13) için E[p−1∣x]=6+13−16−1=185E[p^{-1}|x] = \frac{6+13-1}{6-1} = \frac{18}{5} bulunur.
Tahmin edici: p^B=118/5=518\hat{p}_B = \frac{1}{18/5} = \frac{5}{18}
Beta dağılımının moment özellikleri kullanılarak integral kolayca hesaplanır ve nihai sonuç elde edilir.

Anahtar Kavram

Bayes Tahmin Yöntemi ve Ağırlıklı Karesel Hata Kayıp Fonksiyonu
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Bayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

Bu konudan daha fazla soru