Bir vergi dairesi, mükelleflerinin vergi ödeme uyumlarını her yıl değerlendirerek üç farkl… — KPSS İstatistik

Bir vergi dairesi, mükelleflerinin vergi ödeme uyumlarını her yıl değerlendirerek üç farklı durumdan birine sınıflandırmaktadır: $D_1$ (Düzenli ödeyen), $D_2$ (Gecikmeli ödeyen) ve $D_3$ (İcra takibinde olan). Mükelleflerin bu durumlar arasındaki geçişleri, zamanla değişmeyen (homojen) kesikli zamanlı bir Markov zinciri ile modellenmektedir. Bir mükellefin bir yıldan diğerine durum değiştirme olasılıklarını gösteren geçiş matrisi aşağıda verilmiştir:

P = \begin{bmatrix} 0,7 & 0,2 & 0,1 \\ 0,3 & 0,5 & 0,2 \\ 0,1 & 0,4 & 0,5 \end{bmatrix}

Buna göre, bu yıl 'Gecikmeli ödeyen' ( $D_2$ ) durumunda olduğu bilinen bir mükellefin, tam iki yıl sonra 'İcra takibinde olan' ( $D_3$ ) durumunda olma olasılığı kaçtır?

A
$0,04$
B
$0,10$
C
$0,16$
$0,23$ Cevap
E
$0,42$

Cevap

İki adım sonrasında mükellefin

D_3

durumunda olma olasılığı

0,23

'tür.

İki adımlı geçiş olasılığı

P_{23}^{(2)}

değeri, başlangıç durumu olan 2. satır ile hedef durum olan 3. sütunun elemanlarının karşılıklı çarpımlarının toplamıdır. Chapman-Kolmogorov denklemleri gereği bu hesaplama

P_{21}P_{13} + P_{22}P_{23} + P_{23}P_{33}

şeklinde yapılır ve

(0,3)(0,1) + (0,5)(0,2) + (0,2)(0,5) = 0,23

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

İstenen olasılığın matematiksel tanımını belirleme

Başlangıç durumu

D_2

ve hedef durum

D_3

olduğu için 2 adım sonrasındaki geçiş olasılığı olan

P_{23}^{(2)}

değeri bulunmalıdır.

Markov zincirlerinde n-adımlı geçiş olasılıkları, tek adımlı geçiş matrisinin n. kuvvetindeki ilgili elemana (satır ve sütun kesişimine) eşittir.

Chapman-Kolmogorov eşitliğini 2. satır ve 3. sütun için yazma

P_{23}^{(2)} = \sum_{k=1}^{3} P_{2k}P_{k3} = P_{21}P_{13} + P_{22}P_{23} + P_{23}P_{33}

2 adımda

D_2

'den

D_3

'e geçiş; önce

D_1

'e uğrayıp sonra

D_3

'e geçme,

D_2

'de kalıp sonra

D_3

'e geçme veya

D_3

'e geçip orada kalma senaryolarının olasılıklarının toplamıdır.

Matris üzerindeki değerleri formülde yerine koyarak sonucu hesaplama

P_{23}^{(2)} = (0,3 \times 0,1) + (0,5 \times 0,2) + (0,2 \times 0,5) = 0,03 + 0,10 + 0,10 = 0,23

Tüm olası ayrık ara yolların olasılıkları toplanarak toplam iki adımlı geçiş olasılığı bulunur.

Anahtar Kavram

İki adımlı geçiş olasılıklarının Chapman-Kolmogorov denklemleri ile hesaplanması

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru