Examkin

Soru

Zorluk: ZorKesikli Zamanlı Markov Zincirleri ve Geçiş Olasılıkları

Bir sistem, S={1,2,3}S = \{1, 2, 3\} durum uzayında tanımlı kesikli zamanlı bir Markov zinciri ile modellenmektedir. Bu zincirin bir adım geçiş olasılıkları matrisi PP, bazı elemanları bilinmeyen (a,b,ca, b, c) olarak aşağıda verilmiştir:

P=[0.2a0.30.40.1bc0.30.4] P = \begin{bmatrix} 0.2 & a & 0.3 \\ 0.4 & 0.1 & b \\ c & 0.3 & 0.4 \end{bmatrix}

Sistemin t=0t=0 anındaki (başlangıç) durum dağılımı vektörü π(0)=[0.6, 0.4, 0]\pi^{(0)} = [0.6, \ 0.4, \ 0] olarak belirlenmiştir.

Buna göre, sistemin 2. adımda (t=2t=2 anında) 3 numaralı durumda olma olasılığı olan P(X2=3)P(X_2 = 3) değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    0.258
  2. B
    0.324
  3. C
    0.380
  4. 0.406Cevap
  5. E
    0.430

Cevap

Doğru cevap 0.406'dır.
Markov zincirlerinde geçiş matrisinin her bir satırındaki olasılıkların toplamı 1'dir. Bu kural uygulanarak matristeki bilinmeyenler sırasıyla a=1−(0.2+0.3)=0.5a = 1 - (0.2+0.3) = 0.5, b=1−(0.4+0.1)=0.5b = 1 - (0.4+0.1) = 0.5 ve c=1−(0.3+0.4)=0.3c = 1 - (0.3+0.4) = 0.3 olarak bulunur.
Sistemin nn. adımdaki durum dağılımı π(n)=π(n−1)⋅P\pi^{(n)} = \pi^{(n-1)} \cdot P formülü ile hesaplanır.
Öncelikle 1. adımdaki dağılım bulunur:
π(1)=[0.6, 0.4, 0]⋅[0.20.50.30.40.10.50.30.30.4]=[0.28, 0.34, 0.38]\pi^{(1)} = [0.6, \ 0.4, \ 0] \cdot \begin{bmatrix} 0.2 & 0.5 & 0.3 \\ 0.4 & 0.1 & 0.5 \\ 0.3 & 0.3 & 0.4 \end{bmatrix} = [0.28, \ 0.34, \ 0.38]
Ardından 2. adımda 3 numaralı durumda olma olasılığı, π(1)\pi^{(1)} vektörü ile matrisin 3. sütunu çarpılarak elde edilir:
P(X2=3)=π1(1)P13+π2(1)P23+π3(1)P33=(0.28⋅0.3)+(0.34⋅0.5)+(0.38⋅0.4)=0.084+0.170+0.152=0.406P(X_2 = 3) = \pi^{(1)}_1 P_{13} + \pi^{(1)}_2 P_{23} + \pi^{(1)}_3 P_{33} = (0.28 \cdot 0.3) + (0.34 \cdot 0.5) + (0.38 \cdot 0.4) = 0.084 + 0.170 + 0.152 = 0.406.

Adım Adım Çözüm

1
Geçiş matrisindeki (PP) eksik elemanları bulma
a=0.5a = 0.5, b=0.5b = 0.5, c=0.3c = 0.3
Markov zincirlerinde geçiş matrisinin her bir satırındaki olasılıkların toplamı daima 1'e eşit olmak zorundadır.
2
Sistemin 1. adımdaki (t=1t=1) durum dağılımını (π(1)\pi^{(1)}) hesaplama
π(1)=[0.28, 0.34, 0.38]\pi^{(1)} = [0.28, \ 0.34, \ 0.38]
Birinci adımdaki olasılık dağılımı, başlangıç dağılımı vektörü ile geçiş matrisinin çarpımına eşittir: π(1)=π(0)⋅P\pi^{(1)} = \pi^{(0)} \cdot P
3
Sistemin 2. adımda (t=2t=2) 3 numaralı durumda olma olasılığını hesaplama
P(X2=3)=0.406P(X_2 = 3) = 0.406
İkinci adımdaki dağılım π(2)=π(1)⋅P\pi^{(2)} = \pi^{(1)} \cdot P işlemiyle bulunur. Bize sadece 3. durum gerektiğinden, π(1)\pi^{(1)} vektörü ile matrisin 3. sütununun iç çarpımı alınır: 0.28(0.3)+0.34(0.5)+0.38(0.4)=0.4060.28(0.3) + 0.34(0.5) + 0.38(0.4) = 0.406.

Anahtar Kavram

Kesikli Zamanlı Markov Zincirlerinde Geçiş Matrisi Özellikleri ve n-Adım Olasılıkları
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Kesikli Zamanlı Markov Zincirleri ve Geçiş Olasılıkları

Bu konudan daha fazla soru