Bir büyükşehir belediyesine ait otobüs filosunun haftalık operasyonel durumları, durum uza… — KPSS İstatistik

Bir büyükşehir belediyesine ait otobüs filosunun haftalık operasyonel durumları, durum uzayı $S = \{1, 2, 3\}$ olan kesikli zamanlı bir Markov zinciri ile modellenmektedir. Durumlar sırasıyla şu şekildedir:

1: Seferde
2: Rutin Bakımda
3: Arızalı

Bu Markov zincirinin tek adımlı geçiş olasılık matrisi

P

aşağıda verilmiştir:

P = \begin{bmatrix} 0,6 & 0,3 & 0,1 \\ 0,8 & 0,1 & 0,1 \\ 0,4 & 0,4 & 0,2 \end{bmatrix}

Başlangıçta ( $t=0$ ) seferde olduğu bilinen bir otobüsün, 2. haftanın sonunda ( $t=2$ ) arızalı duruma geçtiği gözlemlenmiştir.

Buna göre, bu otobüsün 1. haftanın sonunda ( $t=1$ ) rutin bakımda olma olasılığı kaçtır?

$\frac{3}{11}$ Cevap
B
$\frac{3}{100}$
C
$\frac{11}{100}$
D
$\frac{3}{10}$
E
$\frac{1}{4}$

Cevap

İstenen olasılık

\frac{3}{11}

'dir.

İstenen durum, başlangıç ve bitiş noktası belli olan bir sürecin aradaki adımını sormaktadır. Markov zincirinin hafızasızlık özelliği kullanılarak Bayes teoremi uygulandığında, payda 1'den 2'ye ve 2'den 3'e geçiş olasılıklarının çarpımı olan 0,03 değeri bulunur. Paydada ise 1'den 3'e 2 adımda ulaşılabilecek tüm yolların (1->1->3, 1->2->3, 1->3->3) toplamı olan 0,11 değeri yer alır. Bu iki değerin oranı bize doğru sonucu, yani 3/11'i verir.

Adım Adım Çözüm

İstenen olasılığı Bayes teoremi ve Markov özelliğini kullanarak matematiksel olarak ifade et.

P(X_1=2 | X_2=3, X_0=1) = \frac{P(X_1=2 | X_0=1) \cdot P(X_2=3 | X_1=2)}{P(X_2=3 | X_0=1)}

Markov özelliğine göre, geçmiş ve gelecek bilindiğinde aradaki bir durumun olasılığı, ardışık geçiş olasılıkları çarpımının, uçtan uca toplam geçiş olasılığına bölünmesiyle bulunur.

Koşullu olasılığın pay kısmındaki çarpımı hesapla.

P_{12} \cdot P_{23} = 0,3 \cdot 0,1 = 0,03

Bu değer, otobüsün 1. haftada 2. duruma uğrayıp ardından 3. duruma geçme (istenen yol) olasılığını verir.

Koşullu olasılığın paydasında yer alan 2 adımlı geçiş olasılığını (

P_{13}^{(2)}

) hesapla.

P_{13}^{(2)} = (P_{11}\cdot P_{13}) + (P_{12}\cdot P_{23}) + (P_{13}\cdot P_{33}) = (0,6 \cdot 0,1) + (0,3 \cdot 0,1) + (0,1 \cdot 0,2) = 0,06 + 0,03 + 0,02 = 0,11

Başlangıçta 1 numaralı durumda olan sistemin 2. adımda 3 numaralı durumda olabilmesi için geçebileceği tüm olası yolların toplam olasılığı (marjinal oran) hesaplanmalıdır.

Payı paydaya bölerek nihai koşullu olasılığı bul.

\frac{0,03}{0,11} = \frac{3}{11}

Belirli bir yoldan gitme olasılığının, koşulun sağlandığı tüm olası yolların toplam olasılığına oranı bize koşullu olasılığı verir.

Anahtar Kavram

Koşullu Olasılık ve Markov Zincirlerinde Geriye Dönük Çıkarım

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru