Examkin

Soru

Zorluk: ZorKesikli Zamanlı Markov Zincirleri ve Geçiş Olasılıkları

Bir sosyal güvenlik kurumu, sigortalıların istihdam durumlarını S={S1,S2,S3}S = \{S_1, S_2, S_3\} durum uzayına sahip kesikli zamanlı bir Markov zinciri ile modellemektedir:
- S1S_1: Tam zamanlı çalışan
- S2S_2: Kısmi zamanlı çalışan
- S3S_3: İş arayan

Haftalık geçiş olasılık matrisi (PP) aşağıda verilmiştir:
P=[0, ⁣40, ⁣40, ⁣20, ⁣30, ⁣50, ⁣20, ⁣10, ⁣50, ⁣4] P = \begin{bmatrix} 0,\!4 & 0,\!4 & 0,\!2 \\ 0,\!3 & 0,\!5 & 0,\!2 \\ 0,\!1 & 0,\!5 & 0,\!4 \end{bmatrix}

Kuruma yeni kayıt olan bir kişinin başlangıçtaki (t=0t=0) durum olasılıkları sırasıyla P(X0=S1)=0, ⁣5P(X_0=S_1)=0,\!5, P(X0=S2)=0, ⁣3P(X_0=S_2)=0,\!3 ve P(X0=S3)=0, ⁣2P(X_0=S_3)=0,\!2 olarak belirlenmiştir.

Buna göre, 2. haftada (t=2t=2) S2S_2 durumunda ve 1. haftada (t=1t=1) S1S_1 durumunda olduğu bilinen bir kişinin, başlangıçta (t=0t=0) da S1S_1 durumunda olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    425\frac{4}{25}
  2. B
    15\frac{1}{5}
  3. C
    14\frac{1}{4}
  4. D
    25\frac{2}{5}
  5. 2031\frac{20}{31}Cevap

Cevap

2031\frac{20}{31}
Doğru yanıt, Markov sürecindeki koşullu bağımsızlık özelliğinin (Markov property) anlaşılmasını gerektirir. Şimdiki durum (t=1t=1) bilindiğinde, geçmiş (t=0t=0) ile gelecek (t=2t=2) koşullu olarak bağımsızdır. Bu nedenle soru aslında P(X0=S1∣X1=S1)P(X_0=S_1 \mid X_1=S_1) değerini sormaktadır. Toplam olasılık kuralı ile 1. haftada S1S_1 olma olasılığı 0,310,31 olarak bulunur. Geriye dönük olasılık (Bayes teoremi) uygulandığında P(X0=S1,X1=S1)P(X_0=S_1, X_1=S_1) değeri olan 0,200,20, marjinal olasılık olan 0,310,31'e bölünür ve 2031\frac{20}{31} sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İstenen olasılığı koşullu olasılık formülü ile ifade etme.
P(X0=S1∣X1=S1,X2=S2)=P(X0=S1,X1=S1,X2=S2)P(X1=S1,X2=S2)P(X_0=S_1 \mid X_1=S_1, X_2=S_2) = \frac{P(X_0=S_1, X_1=S_1, X_2=S_2)}{P(X_1=S_1, X_2=S_2)}
Verilen iki koşulun (X1=S1X_1=S_1 ve X2=S2X_2=S_2) bilindiği durumda geçmişteki (X0=S1X_0=S_1) durumun olasılığını bulmak için temel koşullu olasılık kuralı uygulanır.
2
Markov özelliğini kullanarak sadeleştirme yapma.
P(X0=S1∣X1=S1,X2=S2)=P(X0=S1∣X1=S1)P(X_0=S_1 \mid X_1=S_1, X_2=S_2) = P(X_0=S_1 \mid X_1=S_1)
Markov zincirlerinde şimdiki zaman (t=1t=1) bilindiğinde, geçmiş (t=0t=0) ve gelecek (t=2t=2) birbirinden koşullu olarak bağımsızdır. Dolayısıyla t=2t=2'deki durumun t=0t=0 olasılığına bir etkisi yoktur.
3
Bayes teoremi ile geriye dönük (backward) olasılık denklemini kurma.
P(X0=S1∣X1=S1)=P(X0=S1)⋅P(X1=S1∣X0=S1)P(X1=S1)P(X_0=S_1 \mid X_1=S_1) = \frac{P(X_0=S_1) \cdot P(X_1=S_1 \mid X_0=S_1)}{P(X_1=S_1)}
Zamanda geriye doğru bir koşullu olasılık sorulduğu için başlangıç olasılıkları ve ileri geçiş olasılıklarını kullanarak Bayes teoremi uygulanmalıdır.
4
Toplam olasılık kuralı ile P(X1=S1)P(X_1=S_1) paydasını hesaplama.
P(X1=S1)=(0,5⋅0,4)+(0,3⋅0,3)+(0,2⋅0,1)=0,20+0,09+0,02=0,31P(X_1=S_1) = (0,5 \cdot 0,4) + (0,3 \cdot 0,3) + (0,2 \cdot 0,1) = 0,20 + 0,09 + 0,02 = 0,31
1. haftada S1S_1 durumunda olma olasılığı, başlangıçtaki tüm olası durumlardan S1S_1'e geçiş olasılıklarının ağırlıklı toplamıdır.
5
Bulunan değerleri Bayes formülünde yerine koyarak sonucu elde etme.
0,5⋅0,40,31=0,200,31=2031\frac{0,5 \cdot 0,4}{0,31} = \frac{0,20}{0,31} = \frac{20}{31}
Pay kısmına X0=S1X_0=S_1 ve X1=S1X_1=S_1 durumlarının ortak olasılığı, paydaya ise koşul olan X1=S1X_1=S_1 olasılığı yazılarak nihai orana ulaşılır.

Anahtar Kavram

Markov Özelliği (Koşullu Bağımsızlık) ve Bayes Teoremi

Alternatif Yöntem

Öğrenciler Markov özelliğini (şartlı bağımsızlık) pratik olarak uygulamak yerine Bayes kuralını tam açarak da aynı sonuca ulaşabilir: P(X0=S1∣X1=S1,X2=S2)=P(X0=S1)⋅P11⋅P12P(X1=S1)⋅P12P(X_0=S_1 \mid X_1=S_1, X_2=S_2) = \frac{P(X_0=S_1) \cdot P_{11} \cdot P_{12}}{P(X_1=S_1) \cdot P_{12}}. Bu durumda pay 0,5×0,4×0,4=0,080,5 \times 0,4 \times 0,4 = 0,08 ve payda 0,31×0,4=0,1240,31 \times 0,4 = 0,124 olur. P12P_{12} olan 0,40,4 çarpanı her iki taraftan sadeleştiğinde sonuç değişmeden 0,080,124=2031\frac{0,08}{0,124} = \frac{20}{31} çıkar.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Kesikli Zamanlı Markov Zincirleri ve Geçiş Olasılıkları

Bu konudan daha fazla soru