Examkin

Soru

Zorluk: ZorKitle Toplamının Tahmini ve Varyansı

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) il müdürlüğü, bir sanayi bölgesinde faaliyet gösteren N=250N = 250 adet orta ölçekli işletmenin geçmiş yıla ait toplam prim borcunu tahmin etmek amacıyla bir çalışma planlamıştır.

Bu amaçla iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle n=25n = 25 işletme seçilmiş ve bu işletmelerin prim borçları (yiy_i, bin TL) incelenmiştir. Elde edilen verilere göre, örneklemdeki işletmelerin prim borçları toplamı ∑i=125yi=500\sum_{i=1}^{25} y_i = 500 ve örneklem ortalamasından sapmalarının kareleri toplamı ∑i=125(yi−yˉ)2=2400\sum_{i=1}^{25} (y_i - \bar{y})^2 = 2400 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, bu sanayi bölgesindeki tüm orta ölçekli işletmelerin toplam prim borcu tahmini (τ^\hat{\tau}) ve bu tahminin varyansı (V^(τ^)\hat{V}(\hat{\tau})) aşağıdakilerden hangisinde sırasıyla doğru verilmiştir?

  1. τ^=5.000;V^(τ^)=225.000\hat{\tau} = 5.000 \quad ; \quad \hat{V}(\hat{\tau}) = 225.000Cevap
  2. B
    τ^=5.000;V^(τ^)=250.000\hat{\tau} = 5.000 \quad ; \quad \hat{V}(\hat{\tau}) = 250.000
  3. C
    τ^=5.000;V^(τ^)=3,6\hat{\tau} = 5.000 \quad ; \quad \hat{V}(\hat{\tau}) = 3,6
  4. D
    τ^=500;V^(τ^)=225.000\hat{\tau} = 500 \quad ; \quad \hat{V}(\hat{\tau}) = 225.000
  5. E
    τ^=5.000;V^(τ^)=900\hat{\tau} = 5.000 \quad ; \quad \hat{V}(\hat{\tau}) = 900

Cevap

Kitle toplamı tahmini τ^=5.000\hat{\tau} = 5.000 ve tahminin varyansı V^(τ^)=225.000\hat{V}(\hat{\tau}) = 225.000 değerlerini gösteren seçenektir.
Doğru cevap, kitle toplamı tahmininin τ^=250×20=5.000\hat{\tau} = 250 \times 20 = 5.000 ve varyansının V^(τ^)=2502×0,9×4=225.000\hat{V}(\hat{\tau}) = 250^2 \times 0,9 \times 4 = 225.000 olarak hesaplandığı seçenektir. Yansız örneklem varyansı s2=2400/24=100s^2 = 2400/24=100 olarak bulunmuş, iadesiz seçim yapıldığı için 0,90,9 değerindeki SKD çarpanı kullanılmıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Örneklem ortalamasının ve kitle toplamı tahmininin hesaplanması
yˉ=50025=20\bar{y} = \frac{500}{25} = 20 ve τ^=N⋅yˉ=250⋅20=5.000\hat{\tau} = N \cdot \bar{y} = 250 \cdot 20 = 5.000
Kitle toplamı tahmini (τ^\hat{\tau}) için örneklem ortalaması bulunup kitle büyüklüğü (NN) ile çarpılmalıdır.
2
Düzeltilmiş örneklem varyansının (s2s^2) hesaplanması
s2=∑(yi−yˉ)2n−1=240024=100s^2 = \frac{\sum (y_i - \bar{y})^2}{n - 1} = \frac{2400}{24} = 100
Yansız varyans tahmini elde etmek için kareler toplamı serbestlik derecesine (n−1n-1) bölünmelidir.
3
Kitle toplamı tahmininin varyansının hesaplanması
V^(τ^)=N2⋅(1−nN)⋅s2n=2502⋅(1−25250)⋅10025=62.500⋅0,9⋅4=225.000\hat{V}(\hat{\tau}) = N^2 \cdot (1 - \frac{n}{N}) \cdot \frac{s^2}{n} = 250^2 \cdot (1 - \frac{25}{250}) \cdot \frac{100}{25} = 62.500 \cdot 0,9 \cdot 4 = 225.000
Kitle toplamının varyansı formülünde ortalamanın varyansı N2N^2 ile çarpılmalı ve iadesiz seçim nedeniyle Sonlu Kitle Düzeltme çarpanı (SKD) uygulanmalıdır.

Anahtar Kavram

İadesiz Basit Rastgele Örneklemede Kitle Toplamı ve Varyans Tahmini
Bu soruyu puanla

Konular

Kitle Toplamının Tahmini ve Varyansı

Bu konudan daha fazla soru