Examkin

Soru

Zorluk: ZorKitle Toplamının Tahmini ve Varyansı

Bir sahil güvenlik bölge komutanlığı, denetim alanındaki bir limana kayıtlı N=200N = 200 adet ticari balıkçı teknesinin belirli bir sezondaki toplam av miktarını tahmin etmek amacıyla bir çalışma yürütmektedir. Bu amaçla iadesiz basit rastgele örnekleme yöntemiyle n=40n = 40 tekne rastgele seçilerek incelenmiştir.

Örnekleme sonucunda seçilen teknelerin sezonluk ortalama av miktarı yˉ=120\bar{y} = 120 ton ve av miktarlarına ilişkin örneklem varyansı s2=250s^2 = 250 olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, bu limana kayıtlı tüm teknelerin sezonluk toplam av miktarının tahmin edicisine ait varyans değeri (V^(τ^)\hat{V}(\hat{\tau})) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    5
  2. B
    6,25
  3. C
    1.000
  4. 200.000Cevap
  5. E
    250.000

Cevap

Doğru yanıt 200.000 değerini veren seçenektir. Kitle toplamının varyansı, ortalamanın varyansının N^2 ile çarpılmasıyla ve iadesiz seçim yapıldığı için Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanı (SKD) kullanılarak bulunur.
İadesiz basit rastgele örneklemede kitle toplamının varyans tahmin edicisi V^(τ^)=N2⋅(N−nN)⋅s2n\hat{V}(\hat{\tau}) = N^2 \cdot \left(\frac{N-n}{N}\right) \cdot \frac{s^2}{n} formülüyle hesaplanır. Değerler yerine konulduğunda; 2002⋅(200−40200)⋅25040=40.000⋅0,8⋅6,25=200.000200^2 \cdot \left(\frac{200-40}{200}\right) \cdot \frac{250}{40} = 40.000 \cdot 0,8 \cdot 6,25 = 200.000 sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen parametreleri belirleme
N=200N = 200, n=40n = 40, s2=250s^2 = 250
Varyans formülünde kullanılacak kitle ve örneklem büyüklükleri ile örneklem varyansının tasnif edilmesi.
2
Sonlu Kitle Düzeltme Çarpanını (SKD) hesaplama
SKD=N−nN=200−40200=160200=0,8SKD = \frac{N-n}{N} = \frac{200-40}{200} = \frac{160}{200} = 0,8
İadesiz basit rastgele örneklemede örneklem oranı nN>0,05\frac{n}{N} > 0,05 olduğunda varyans tahmininde düzeltme yapılması zorunludur.
3
Kitle ortalamasının tahmin edicisinin varyansını (V^(yˉ)\hat{V}(\bar{y})) bulma
V^(yˉ)=N−nN⋅s2n=0,8⋅25040=0,8⋅6,25=5\hat{V}(\bar{y}) = \frac{N-n}{N} \cdot \frac{s^2}{n} = 0,8 \cdot \frac{250}{40} = 0,8 \cdot 6,25 = 5
Toplam varyansına geçiş yapabilmek için öncelikle örneklem ortalamasının varyansının elde edilmesi.
4
Kitle toplamının tahmin edicisinin varyansını (V^(τ^)\hat{V}(\hat{\tau})) hesaplama
V^(τ^)=N2⋅V^(yˉ)=2002⋅5=40.000⋅5=200.000\hat{V}(\hat{\tau}) = N^2 \cdot \hat{V}(\bar{y}) = 200^2 \cdot 5 = 40.000 \cdot 5 = 200.000
Kitle toplamı tahmini τ^=N⋅yˉ\hat{\tau} = N \cdot \bar{y} şeklinde doğrusal bir dönüşüm olduğu için, varyansı hesaplanırken katsayının karesi (N2N^2) alınmalıdır.

Anahtar Kavram

İadesiz basit rastgele örneklemede kitle toplamı varyansının tahmini
Bu soruyu puanla

Konular

Kitle Toplamının Tahmini ve Varyansı

Bu konudan daha fazla soru