X ve Y sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmi… — KPSS İstatistik

$X$ ve $Y$ sürekli rastgele değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x, y) = 4xy, \quad 0 < x < 1, \quad 0 < y < 1

$U = X^2$ ve $V = Y^2$ dönüşümleri tanımlandığına göre, $U$ ve $V$ değişkenlerinin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu $h(u, v)$ aşağıdakilerden hangisidir?

$h(u, v) = 1, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1$ Cevap
B
$h(u, v) = 4\sqrt{uv}, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1$
C
$h(u, v) = 16uv, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1$
D
$h(u, v) = 1, \quad 0 < u < 2, \quad 0 < v < 2$
E
$h(u, v) = 4uv, \quad 0 < u < 1, \quad 0 < v < 1$

Cevap

Ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu

h(u, v) = 1

olup tanım aralığı

0 < u < 1

0 < v < 1

şeklinded{ir}.

Doğru cevap olan ifade,

x = \sqrt{u}

y = \sqrt{v}

ters dönüşümleri kullanılarak hesaplanan

\frac{1}{4\sqrt{uv}}

Jakobiyen değerinin orijinal yoğunluk fonksiyonuna uygulanmasıyla elde edilen

h(u, v) = 1

sonucunu ve doğru sınırları içermektedir.

Adım Adım Çözüm

Ters dönüşüm denklemlerini belirleyin.

x = \sqrt{u}

y = \sqrt{v}

Orijinal değişkenleri yeni değişkenler cinsinden ifade etmek Jakobiyen yönteminin ilk adımıdır.

Jakobiyen determinantını (

J

) hesaplayın.

J = \begin{vmatrix} \frac{1}{2\sqrt{u}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2\sqrt{v}} \end{vmatrix} = \frac{1}{4\sqrt{uv}}

Dönüşüm altındaki alan/hacim değişimini dengelemek için bu katsayı gereklidir.

Dönüşüm formülünü (

h(u, v) = f(x, y) \cdot |J|

) uygulayın.

h(u, v) = 4(\sqrt{u})(\sqrt{v}) \cdot \frac{1}{4\sqrt{uv}} = 1

Yeni yoğunluk fonksiyonunu elde etmek için orijinal PDF, ters dönüşüm değerleri ve Jakobiyen ile birleştirilir.

Yeni değişkenlerin tanım aralığını belirleyin.

0 < \sqrt{u} < 1 \Rightarrow 0 < u < 1

0 < \sqrt{v} < 1 \Rightarrow 0 < v < 1

Rastgele değişkenlerin tanımlı olduğu bölge dönüşümle birlikte değişebilir.

Anahtar Kavram

İki değişkenli bir dönüşümde yeni yoğunluk fonksiyonu, orijinal fonksiyonun ters dönüşüm değerleri ile Jakobiyen determinantının mutlak değerinin çarpımıyla bulunur.

Daha Fazla Pratik

Değişkenlerin bağımsız olup olmadığını inceleyerek marjinal yoğunluk fonksiyonlarını bulmayı deneyebilirsiniz.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Konular