Examkin

Soru

Zorluk: KolayBayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

Bir kamu sağlığı projesinde, bir bölgedeki belirli bir hastalığın yaygınlık oranı θ\theta parametresi ile incelenmektedir. Araştırmacılar θ\theta için önsel dağılımı Beta(1,1)Beta(1, 1) (standart düzgün dağılım) olarak belirlemişlerdir. Bölgeden rastgele seçilen 10 kişilik bir örneklemde 4 kişide hastalığa rastlandığına göre, karesel hata kayıp fonksiyonu altında θ\theta parametresinin Bayes tahmin edicisi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 512\frac{5}{12}Cevap
  2. B
    25\frac{2}{5}
  3. C
    12\frac{1}{2}
  4. D
    411\frac{4}{11}
  5. E
    511\frac{5}{11}

Cevap

Karesel hata kayıp fonksiyonu altında Bayes tahmin edicisi 5/12 olarak hesaplanır.
Karesel hata kayıp fonksiyonu altında Bayes tahmin edicisi, sonsal dağılımın beklenen değerine karşılık gelir. Verilen problemde Beta(1,1)Beta(1,1) önsel dağılımı ile 10 denemede 4 başarılı gözlem birleştirildiğinde, sonsal dağılım Beta(5,7)Beta(5,7) olur. Bu dağılımın ortalaması 5/(5+7)=5/125/(5+7) = 5/12 şeklinde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Önsel dağılım ve veri parametrelerini belirle
Önsel: α=1,β=1\alpha=1, \beta=1; Veri: n=10,x=4n=10, x=4
Bayesyen güncelleme için başlangıç değerlerinin tanımlanması gerekir.
2
Sonsal dağılım parametrelerini hesapla
α′=α+x=1+4=5\alpha' = \alpha + x = 1 + 4 = 5 ve β′=β+n−x=1+10−4=7\beta' = \beta + n - x = 1 + 10 - 4 = 7
Beta-Binom eşlenik (conjugate) yapısında sonsal dağılım yine bir Beta dağılımıdır.
3
Bayes tahmin edicisini bul (Karesel hata kaybı)
θ^Bayes=E[θ∣x]=α′α′+β′=55+7=512\hat{\theta}_{Bayes} = E[\theta|x] = \frac{\alpha'}{\alpha' + \beta'} = \frac{5}{5 + 7} = \frac{5}{12}
Karesel hata kayıp fonksiyonu kullanıldığında Bayes tahmin edicisi sonsal dağılımın ortalamasıdır.

Anahtar Kavram

Beta-Binom Eşlenik Dağılımları ve Sonsal Ortalama
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Bayes Tahmin Yöntemi ve Sonsal (Posterior) Dağılım

Bu konudan daha fazla soru