Examkin

Soru

Zorluk: ZorBinom Dağılımı

Bir belediyenin zabıta denetim ekipleri, ilçedeki gıda işletmelerinin hijyen standartlarını düzenli olarak kontrol etmektedir. Yapılan istatistiksel çalışmalara göre, denetlenen rastgele bir işletmenin hijyen standartlarını sağlayamayarak idari para cezası alma olasılığı 13\frac{1}{3}'tür.

Ekiplerin rastgele seçtiği 44 farklı işletmede yaptığı denetimler sonucunda, en az bir işletmeye idari para cezası kesildiği bilindiğine göre, tam olarak 22 işletmeye idari para cezası kesilmiş olma olasılığı kaçtır?

  1. A
    465\frac{4}{65}
  2. B
    827\frac{8}{27}
  3. C
    310\frac{3}{10}
  4. 2465\frac{24}{65}Cevap
  5. E
    34\frac{3}{4}

Cevap

Tam olarak 22 işletmeye idari para cezası kesilmiş olma olasılığı 2465\frac{24}{65}'tir.
Verilen problemde ceza alan işletme sayısı bir Binom dağılımı gösterir. En az bir işletmeye ceza kesildiği koşulu altında tam 2 işletmeye ceza kesilme olasılığı istenmektedir. Bu nedenle P(X=2)P(X=2) olasılığının, 1−P(X=0)1 - P(X=0) şeklinde hesaplanan P(X≥1)P(X \ge 1) olasılığına bölünmesi gerekir. Yapılan işlemler sonucunda oran 2465\frac{24}{65} olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1
Rastgele değişkeni tanımlama
XX: Ceza kesilen işletme sayısı. X∼Bin(n=4,p=1/3)X \sim Bin(n=4, p=1/3)
Denetimler bağımsız ve her bir işletmenin ceza alma olasılığı sabit (1/31/3) olduğu için Binom dağılımı kullanılır.
2
İstenen olasılığı koşullu olasılık formatında yazma
P(X=2∣X≥1)=P(X=2∩X≥1)P(X≥1)=P(X=2)P(X≥1)P(X=2 \mid X \ge 1) = \frac{P(X=2 \cap X \ge 1)}{P(X \ge 1)} = \frac{P(X=2)}{P(X \ge 1)}
Soruda 'en az bir işletmeye ceza kesildiği bilindiğine göre' ifadesi yer aldığından koşullu olasılık formülü uygulanmalıdır.
3
Pay kısmındaki olasılığı hesaplama (P(X=2)P(X=2))
P(X=2)=(42)(13)2(23)2=6⋅19⋅49=2481P(X=2) = \binom{4}{2} \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 6 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{9} = \frac{24}{81}
Tam olarak 2 işletmeye ceza kesilme olasılığı Binom olasılık fonksiyonu ile hesaplanır.
4
Payda kısmındaki olasılığı hesaplama (P(X≥1)P(X \ge 1))
P(X≥1)=1−P(X=0)=1−(40)(13)0(23)4=1−1⋅1⋅1681=6581P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - \binom{4}{0} \left(\frac{1}{3}\right)^0 \left(\frac{2}{3}\right)^4 = 1 - 1 \cdot 1 \cdot \frac{16}{81} = \frac{65}{81}
En az bir ceza kesilme olasılığı, tüm olasılıklardan (1) hiç ceza kesilmeme olasılığının çıkarılmasıyla daha kolay bulunur.
5
Koşullu olasılık değerini elde etme
P(X=2∣X≥1)=24816581=2465P(X=2 \mid X \ge 1) = \frac{\frac{24}{81}}{\frac{65}{81}} = \frac{24}{65}
Önceki adımlarda bulunan değerler koşullu olasılık formülünde yerine konularak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Binom Dağılımı ve Koşullu Olasılık
Bu soruyu puanla

Konular

Binom Dağılımı

Bu konudan daha fazla soru