Bir e-ticaret platformunun ödeme altyapısında, sisteme gelen her bir işlem talebinin ilk d… — KPSS İstatistik

Bir e-ticaret platformunun ödeme altyapısında, sisteme gelen her bir işlem talebinin ilk denemede başarılı olma olasılığı sabittir. İşlemlerin başarılı olma durumları birbirinden bağımsızdır.

Belirli bir saat diliminde sisteme gelen toplam $n$ adet işlem talebi arasından başarılı olanların sayısı $X$ rastgele değişkeni ile gösterilmektedir. Bu platformda sistemin yoğunluk endeksi $Y = 3X + 2$ formülü ile modellenmiştir.

İlgili saat dilimi için $X$ 'in beklenen değeri $4$ ve yoğunluk endeksi $Y$ 'nin varyansı $7.2$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, bu saat diliminde sisteme gelen $n$ adet işlem talebinden tam olarak $4$ tanesinin ilk denemede başarılı olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

A
$210(0.4)^4(0.6)^6$
B
$4(0.8)^4(0.2)$
$5(0.8)^4(0.2)$ Cevap
D
$(0.8)^4(0.2)$
E
$(0.8)(0.2)^3$

Cevap

Doğru olasılık değeri Binom dağılımı formülü ile hesaplanan

5(0.8)^4(0.2)

ifadesidir.

Verilen bilgiler ışığında öncelikle varyans özelliğinden

Var(X)

tespit edilmelidir.

Var(3X+2) = 9Var(X) = 7.2

denklemi ile

Var(X)=0.8

bulunur. Binom dağılımında

E[X]=np

Var(X)=np(1-p)

olduğundan,

4(1-p)=0.8

eşitliğinden

p=0.8

ve dolayısıyla

n=5

değerlerine ulaşılır. Son aşamada ise rastgele seçilen 5 işlemden 4'ünün başarılı olma olasılığı formüle döküldüğünde

\binom{5}{4}(0.8)^4(0.2)^1 = 5(0.8)^4(0.2)

sonucuna varılır.

Adım Adım Çözüm

Y

'nin varyansı üzerinden

X

'in varyansını hesaplama.

Var(Y) = Var(3X + 2) = 3^2 Var(X) = 9 Var(X) = 7.2 \Rightarrow Var(X) = 0.8

Rastgele değişkenlerin doğrusal dönüşümlerinde

Var(aX+b) = a^2Var(X)

özelliği geçerlidir.

Binom dağılımının parametreleri olan

n

p

değerlerini bulma.

E[X] = np = 4

Var(X) = np(1-p) = 0.8

eşitlikleri kurulur.

4(1-p) = 0.8 \Rightarrow 1-p = 0.2 \Rightarrow p = 0.8

. Buradan

n(0.8) = 4 \Rightarrow n = 5

elde edilir.

Dağılımın olasılık fonksiyonunu kullanabilmek için deneme sayısı (

n

) ve başarı olasılığı (

p

) bilinmelidir.

Tam olarak

x=4

başarının elde edilme olasılığını hesaplama.

P(X=4) = \binom{5}{4} (0.8)^4 (0.2)^{5-4} = 5(0.8)^4(0.2)

Elde edilen parametreler ile temel Binom olasılık fonksiyonu

P(X=x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}

uygulanır.

Anahtar Kavram

Binom Dağılımında Beklenen Değer, Varyans ve Olasılık Fonksiyonu

Alternatif Yöntem

Beklenen değer ve varyans ilişkisinden

(1-p) = \frac{Var(X)}{E[X]}

kısa yolu kullanılarak başarısızlık olasılığı (

1-p = 0.8 / 4 = 0.2

) tek adımda doğrudan elde edilebilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru