Binom Dağılımı Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Bir Ulaştırma ve Altyapı Bakanlığı denetim istasyonunda ticari araçların ağırlıkları kontrol edilmektedir. İstasyona giren bir ticari aracın yasal yük sınırını aşmış (aşırı yüklü) olma olasılığı $\frac{1}{4}$ 'tür. İstasyona giren rastgele $4$ ticari araç bağımsız olarak incelenmektedir.

Buna göre, yasal yük sınırını aşmış araç sayısının, incelenen bu $4$ araç için beklenen aşırı yüklü araç sayısından daha fazla olma olasılığı kaçtır?

\frac{67}{256}

\frac{189}{256}

\frac{175}{256}

\frac{37}{64}

\frac{243}{256}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{67}{256}$

Cevap

Beklenen aşırı yüklü araç sayısından daha fazla aşırı yüklü araç bulunma olasılığı

\frac{67}{256}

'dır.

Beklenen aşırı yüklü araç sayısı

E(X) = n \cdot p = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1

olarak bulunur. Beklenen değerden daha fazla aşırı yüklü araç bulunması ihtimali

P(X > 1)

ile gösterilir. Bu olasılık, tüm olasılıkların toplamı olan

1

'den, hiç aşırı yüklü araç olmaması (

X=0

) ve tam

1

aşırı yüklü araç olması (

X=1

) olasılıklarının toplamının çıkarılmasıyla bulunur:

1 - \left(\frac{81}{256} + \frac{108}{256}\right) = \frac{67}{256}

.

Adım Adım Çözüm

1

Rastgele değişkenin dağılımını ve parametrelerini belirle.

X \sim \text{Binom}\left(n=4, p=\frac{1}{4}\right)

Bağımsız denemeler ve her araç için sabit bir başarı (aşırı yüklü olma) olasılığı bulunduğundan binom dağılımı kullanılır.

2

Beklenen değeri (ortalama aşırı yüklü araç sayısı) hesapla.

E(X) = n \cdot p = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1

Soruda istenen koşul, araç sayısının beklenen değere göre durumunu sormaktadır.

3

İstenen olasılık ifadesini matematiksel olarak kur.

P(X > E(X)) \Rightarrow P(X > 1)

Araç sayısının beklenen değerden 'daha fazla' olması kesin bir büyüklük (

>

) ifade eder.

4

Tümleyen olay kuralını kullanarak hesaplanacak durumları sadeleştir.

P(X > 1) = 1 - P(X \le 1) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]

Üç durumu (

X=2,3,4

) tek tek hesaplamak yerine, iki durumu (

X=0,1

) hesaplayıp tümleyeni almak daha az işlem gerektirir.

5

X=0

ve

X=1

için olasılıkları hesapla.

P(X=0) = \binom{4}{0}\left(\frac{1}{4}\right)^0\left(\frac{3}{4}\right)^4 = \frac{81}{256}

P(X=1) = \binom{4}{1}\left(\frac{1}{4}\right)^1\left(\frac{3}{4}\right)^3 = 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{27}{64} = \frac{108}{256}

Binom olasılık kütle fonksiyonu

P(X=x) = \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x}

formülü ile nokta olasılıkları bulunur.

6

Hesaplanan olasılıkları toplayıp, toplam olasılık olan

1

'den çıkararak sonucu bul.

P(X > 1) = 1 - \left(\frac{81}{256} + \frac{108}{256}\right) = 1 - \frac{189}{256} = \frac{67}{256}

Tüm olasılıkların toplamının

1

olması kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Binom dağılımında beklenen değer hesaplaması ve birikimli olasılık hesabı sırasında tümleyen kuralının uygulanması.

Soru 2Soru →

Bir belediyenin zabıta denetim ekipleri, ilçedeki gıda işletmelerinin hijyen standartlarını düzenli olarak kontrol etmektedir. Yapılan istatistiksel çalışmalara göre, denetlenen rastgele bir işletmenin hijyen standartlarını sağlayamayarak idari para cezası alma olasılığı $\frac{1}{3}$ 'tür.

Ekiplerin rastgele seçtiği $4$ farklı işletmede yaptığı denetimler sonucunda, en az bir işletmeye idari para cezası kesildiği bilindiğine göre, tam olarak $2$ işletmeye idari para cezası kesilmiş olma olasılığı kaçtır?

\frac{4}{65}

\frac{8}{27}

\frac{3}{10}

\frac{24}{65}

\frac{3}{4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{24}{65}$

Cevap

Tam olarak

2

işletmeye idari para cezası kesilmiş olma olasılığı

\frac{24}{65}

'tir.

Verilen problemde ceza alan işletme sayısı bir Binom dağılımı gösterir. En az bir işletmeye ceza kesildiği koşulu altında tam 2 işletmeye ceza kesilme olasılığı istenmektedir. Bu nedenle

P(X=2)

olasılığının,

1 - P(X=0)

şeklinde hesaplanan

P(X \ge 1)

olasılığına bölünmesi gerekir. Yapılan işlemler sonucunda oran

\frac{24}{65}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Rastgele değişkeni tanımlama

X

: Ceza kesilen işletme sayısı.

X \sim Bin(n=4, p=1/3)

Denetimler bağımsız ve her bir işletmenin ceza alma olasılığı sabit (

1/3

) olduğu için Binom dağılımı kullanılır.

2

İstenen olasılığı koşullu olasılık formatında yazma

P(X=2 \mid X \ge 1) = \frac{P(X=2 \cap X \ge 1)}{P(X \ge 1)} = \frac{P(X=2)}{P(X \ge 1)}

Soruda 'en az bir işletmeye ceza kesildiği bilindiğine göre' ifadesi yer aldığından koşullu olasılık formülü uygulanmalıdır.

3

Pay kısmındaki olasılığı hesaplama (

P(X=2)

)

P(X=2) = \binom{4}{2} \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 6 \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{9} = \frac{24}{81}

Tam olarak 2 işletmeye ceza kesilme olasılığı Binom olasılık fonksiyonu ile hesaplanır.

4

Payda kısmındaki olasılığı hesaplama (

P(X \ge 1)

)

P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - \binom{4}{0} \left(\frac{1}{3}\right)^0 \left(\frac{2}{3}\right)^4 = 1 - 1 \cdot 1 \cdot \frac{16}{81} = \frac{65}{81}

En az bir ceza kesilme olasılığı, tüm olasılıklardan (1) hiç ceza kesilmeme olasılığının çıkarılmasıyla daha kolay bulunur.

5

Koşullu olasılık değerini elde etme

P(X=2 \mid X \ge 1) = \frac{\frac{24}{81}}{\frac{65}{81}} = \frac{24}{65}

Önceki adımlarda bulunan değerler koşullu olasılık formülünde yerine konularak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Binom Dağılımı ve Koşullu Olasılık

Soru 3Soru →

Bir e-ticaret platformunun ödeme altyapısında, sisteme gelen her bir işlem talebinin ilk denemede başarılı olma olasılığı sabittir. İşlemlerin başarılı olma durumları birbirinden bağımsızdır.

Belirli bir saat diliminde sisteme gelen toplam $n$ adet işlem talebi arasından başarılı olanların sayısı $X$ rastgele değişkeni ile gösterilmektedir. Bu platformda sistemin yoğunluk endeksi $Y = 3X + 2$ formülü ile modellenmiştir.

İlgili saat dilimi için $X$ 'in beklenen değeri $4$ ve yoğunluk endeksi $Y$ 'nin varyansı $7.2$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, bu saat diliminde sisteme gelen $n$ adet işlem talebinden tam olarak $4$ tanesinin ilk denemede başarılı olma olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

210(0.4)^4(0.6)^6

4(0.8)^4(0.2)

5(0.8)^4(0.2)

(0.8)^4(0.2)

(0.8)(0.2)^3

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $5(0.8)^4(0.2)$

Cevap

Doğru olasılık değeri Binom dağılımı formülü ile hesaplanan

5(0.8)^4(0.2)

ifadesidir.

Verilen bilgiler ışığında öncelikle varyans özelliğinden

Var(X)

tespit edilmelidir.

Var(3X+2) = 9Var(X) = 7.2

denklemi ile

Var(X)=0.8

bulunur. Binom dağılımında

E[X]=np

ve

Var(X)=np(1-p)

olduğundan,

4(1-p)=0.8

eşitliğinden

p=0.8

ve dolayısıyla

n=5

değerlerine ulaşılır. Son aşamada ise rastgele seçilen 5 işlemden 4'ünün başarılı olma olasılığı formüle döküldüğünde

\binom{5}{4}(0.8)^4(0.2)^1 = 5(0.8)^4(0.2)

sonucuna varılır.

Adım Adım Çözüm

1

Y

'nin varyansı üzerinden

X

'in varyansını hesaplama.

Var(Y) = Var(3X + 2) = 3^2 Var(X) = 9 Var(X) = 7.2 \Rightarrow Var(X) = 0.8

Rastgele değişkenlerin doğrusal dönüşümlerinde

Var(aX+b) = a^2Var(X)

özelliği geçerlidir.

2

Binom dağılımının parametreleri olan

n

ve

p

değerlerini bulma.

E[X] = np = 4

ve

Var(X) = np(1-p) = 0.8

eşitlikleri kurulur.

4(1-p) = 0.8 \Rightarrow 1-p = 0.2 \Rightarrow p = 0.8

. Buradan

n(0.8) = 4 \Rightarrow n = 5

elde edilir.

Dağılımın olasılık fonksiyonunu kullanabilmek için deneme sayısı (

n

) ve başarı olasılığı (

p

) bilinmelidir.

3

Tam olarak

x=4

başarının elde edilme olasılığını hesaplama.

P(X=4) = \binom{5}{4} (0.8)^4 (0.2)^{5-4} = 5(0.8)^4(0.2)

Elde edilen parametreler ile temel Binom olasılık fonksiyonu

P(X=x) = \binom{n}{x} p^x (1-p)^{n-x}

uygulanır.

Anahtar Kavram

Binom Dağılımında Beklenen Değer, Varyans ve Olasılık Fonksiyonu

Alternatif Yöntem

Beklenen değer ve varyans ilişkisinden

(1-p) = \frac{Var(X)}{E[X]}

kısa yolu kullanılarak başarısızlık olasılığı (

1-p = 0.8 / 4 = 0.2

) tek adımda doğrudan elde edilebilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 4Soru →

Bir Gümrük ve Dış Ticaret Bölge Müdürlüğünde, ithal edilen belirli bir elektronik eşya partisinden rastgele seçilen ürünlerin gümrük mevzuatına aykırı (kusurlu) olma olasılığı sabittir ve ürünlerin kusurlu olma durumları birbirinden bağımsızdır.

Bu partiden rastgele seçilen $n$ adet ürünün incelenmesi sürecinde, kusurlu ürün sayısını ifade eden rastgele değişkenin beklenen değeri ile varyansı arasındaki fark $0.8$ olarak tespit edilmiştir.

Aynı incelemede kusurlu ürün sayısının varyansı $3.2$ olduğuna göre, incelenen toplam ürün sayısı ( $n$ ) ve bu ürünler arasından yalnızca birinin kusurlu olma olasılığı aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla doğru olarak verilmiştir?

20

ve

4(0.8)^{19}

20

ve

(0.2)(0.8)^{19}

20

ve

16(0.2)^{19}

20

ve

(0.8)(0.2)^{19}

5

ve

4(0.2)^4

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $20$ ve $4(0.8)^{19}$

Cevap

İncelenen ürün sayısı

20

ve yalnızca bir ürünün kusurlu olma olasılığı

4(0.8)^{19}

şeklindedir.

Soruda verilen bilgilere göre

X

kusurlu ürün sayısı Binom dağılımına sahiptir. Binom dağılımında beklenen değer

E[X] = np

ve varyans

Var(X) = np(1-p)

formülleriyle hesaplanır. Farkları alındığında

np - np(1-p) = np(1 - 1 + p) = np^2 = 0.8

eşitliği elde edilir. Varyans olan

np(1-p) = 3.2

ifadesi ile bu denklem birbirine oranlandığında

\frac{1-p}{p} = 4

denkleminden

p=0.2

bulunur. Bulunan

p

değeri yerine yazıldığında

n(0.2)^2 = 0.8

ifadesinden ürün sayısı

n=20

elde edilir. İstenen durum olan 1 ürünün kusurlu olması, formüle göre

P(X=1) = \binom{20}{1}(0.2)^1(0.8)^{19} = 4(0.8)^{19}

şeklinde hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Kusurlu ürün sayısını ifade eden

X

rastgele değişkeninin dağılımını belirleme

X \sim Bin(n, p)

, burada

E[X] = np

ve

Var(X) = np(1-p)

'dir.

Ürünlerin kusurlu olma durumları bağımsız ve olasılık sabit olduğundan süreç Binom dağılımına uyar.

2

Verilen bilgilerden denklem sistemini kurma

E[X] - Var(X) = np - np(1-p) = np^2 = 0.8

ve

Var(X) = np(1-p) = 3.2

eşitlikleri elde edilir.

Soruda beklenen değer ile varyans farkı 0.8 ve varyans 3.2 olarak açıkça verilmiştir.

3

Denklem sistemini çözerek

p

ve

n

parametrelerini bulma

İki denklem oranlandığında

\frac{np(1-p)}{np^2} = \frac{1-p}{p} = \frac{3.2}{0.8} = 4

bulunur. Buradan

1-p = 4p \implies 5p = 1 \implies p=0.2

elde edilir. Bu değer ilk denklemde yerine konduğunda

n(0.2)^2 = 0.8 \implies n(0.04) = 0.8 \implies n=20

bulunur.

Binom dağılımının temel parametreleri olan

n

(deneme sayısı) ve

p

(başarı/kusur olasılığı) bilinmeden olasılık hesabı yapılamaz.

4

Yalnızca bir ürünün kusurlu olma olasılığını,

P(X=1)

, hesaplama

P(X=1) = \binom{20}{1}(0.2)^1(0.8)^{19} = 20 \times 0.2 \times (0.8)^{19} = 4(0.8)^{19}

sonucuna ulaşılır.

Soruda tam olarak bir ürünün kusurlu olma olasılığı istenmektedir.

Anahtar Kavram

Binom Dağılımında Beklenen Değer ve Varyans Özelliklerinin Kullanımı

Soru 5Soru →

Bir kamu kurumunun dijital dönüşüm çalışmaları kapsamında, fiziksel arşivdeki belgeler taranarak sisteme aktarılmaktadır. Yapılan kalite kontrolleri sonucunda, her bir belgenin hatalı taranma olasılığının birbirlerinden bağımsız ve sabit olarak $0,1$ olduğu tespit edilmiştir. Bu arşivden rastgele seçilen $4$ belgeden tam olarak $1$ tanesinin hatalı taranmış olma olasılığı kaçtır?

0,0729

0,2916

0,3600

0,4000

0,0036

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,2916

Cevap

Rastgele seçilen 4 belgeden tam olarak 1 tanesinin hatalı taranma olasılığı 0,2916'dır.

Verilen problemde

n=4

deneme ve her denemede

p=0,1

başarı (hatalı tarama) olasılığı bulunmaktadır. Binom dağılımı formülüne göre tam olarak 1 başarının gerçekleşme olasılığı

P(X=1) = \binom{4}{1} (0,1)^1 (0,9)^3 = 4 \times 0,1 \times 0,729 = 0,2916

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım parametrelerinin belirlenmesi

n = 4, p = 0,1, q = 1 - 0,1 = 0,9

Binom dağılımı hesaplaması için deneme sayısı (

n

) ve başarı olasılığı (

p

) gereklidir.

2

Binom olasılık kütle fonksiyonunun kurulması

P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}

Bağımsız denemelerde sabit olasılıkla gerçekleşen başarı sayısının olasılığını veren fonksiyondur.

3

Verilen değerlerin formülde yerine yazılması

P(X = 1) = \binom{4}{1} (0,1)^1 (0,9)^{4-1}

Tam olarak 1 hatalı belge (

k=1

) durumu incelenmektedir.

4

Matematiksel hesaplamanın tamamlanması

P(X = 1) = 4 \times 0,1 \times 0,729 = 0,2916

Kombinasyon ve üslü ifadeler çarpılarak nihai olasılık değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Binom dağılımında olasılık kütle fonksiyonu kullanımı

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 6Soru →

Tarım ve Orman Bakanlığı tarafından yürütülen bir ağaçlandırma projesinde, dikilen belirli bir fidan türünün tutma (hayatta kalma) olasılığı $0,8$ olarak hesaplanmıştır. Bu fidanlardan rastgele seçilen $3$ adet fidanın dikilmesi durumunda, tam olarak $2$ adedinin tutma olasılığı kaçtır?

0,128

0,384

0,096

0,512

0,640

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,384$

Cevap

Binom dağılımı prensiplerine göre tam olarak 2 fidanın tutma olasılığı

0,384

olarak hesaplanır.

Binom dağılımında

n

denemede

k

başarı elde etme olasılığı

P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}

formülü ile hesaplanır. Soruda verilen

n=3

,

p=0,8

ve

k=2

değerleri yerine yazıldığında;

\binom{3}{2} (0,8)^2 (0,2)^1 = 3 \times 0,64 \times 0,2 = 0,384

sonucu doğru cevabı oluşturur.

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım parametrelerini belirle

n = 3

,

p = 0,8

,

q = 1 - 0,8 = 0,2

Soru, sabit deneme sayısında (

n=3

) belirli bir başarı olasılığına (

p=0,8

) sahip olayların sayısını incelediği için Binom dağılımı parametreleri tanımlanmalıdır.

2

Binom olasılık fonksiyonunu kur

P(X = 2) = \binom{3}{2} (0,8)^2 (0,2)^{3-2}

Tam olarak

k=2

başarının gerçekleşme olasılığı Binom kütle fonksiyonu ile hesaplanır.

3

Hesaplamayı tamamla

3 \times 0,64 \times 0,2 = 0,384

Kombinasyon ve üslü ifadelerin çarpılmasıyla kesin olasılık değerine ulaşılır.

Anahtar Kavram

Binom Dağılımı Olasılık Kütle Fonksiyonu

Tahmini Süre:45s

Soru 7Soru →

Bir nüfus müdürlüğünde yeni basılan T.C. Kimlik Kartlarının hatalı basılma olasılığı $0,10$ olarak belirlenmiştir. Bu müdürlükte basılan kartlardan rastgele seçilen $4$ kimlik kartından tam olarak $1$ tanesinin hatalı basılmış olma olasılığı kaçtır?

0,2916

0,0729

0,4000

0,0036

0,6561

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,2916

Cevap

Tam olarak bir kartın hatalı olma olasılığı

0,2916

olarak hesaplanır.

Verilen problemde

n=4

deneme ve her denemede sabit

p=0,10

başarı (hatalı kart) olasılığı bulunmaktadır. Binom formülü olan

P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}

ifadesinde değerler yerine konulduğunda

P(X=1) = \binom{4}{1} (0,1)^1 (0,9)^3 = 4 \times 0,1 \times 0,729 = 0,2916

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Parametrelerin belirlenmesi

n=4, p=0,10, q=0,90, k=1

Soruda verilen deneme sayısı, başarı olasılığı ve istenen başarı sayısı tespit edilir.

2

Binom olasılık fonksiyonunun kurulması

P(X=1) = \binom{4}{1} (0,10)^1 (0,90)^3

Tam olarak k başarı olasılığı için Binom formülü uygulanır.

3

Hesaplamanın tamamlanması

4 \times 0,10 \times 0,729 = 0,2916

Kombinasyon ve üslü ifadeler çarpılarak sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Binom Dağılımı Olasılık Kütle Fonksiyonu

Tahmini Süre:45s

Soru 8Soru →

Bir devlet hastanesinde yapılan bir incelemede, sistem üzerinden randevu alan hastaların $\%20$ 'sinin randevularına gelmediği tespit edilmiştir. MHRS üzerinden randevu alan hastalar arasından rastgele seçilen $50$ kişilik bir grupta, randevusuna gelmeyen hasta sayısının varyansı kaçtır?

2

8

10

40

2,83

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $8$

Cevap

Randevusuna gelmeyen hasta sayısının varyansı

8

olarak hesaplanır.

Doğru cevap olan

8

değeri, Binom dağılımının varyans formülü olan

Var(X) = n \times p \times (1-p)

ifadesinde

n=50

ve

p=0,2

değerlerinin yerine yazılmasıyla elde edilir (

50 \times 0,2 \times 0,8 = 8

).

Adım Adım Çözüm

1

Dağılım parametrelerini belirleyin.

n = 50

,

p = 0,2

ve

q = 1 - p = 0,8

Randevuya gelmeme durumu başarılı (ilgilenilen olay) kabul edildiğinde, Binom dağılımı parametreleri örneklem sayısı ve başarı olasılığıdır.

2

Varyans formülünü uygulayın.

Var(X) = n \times p \times q

Binom dağılımına sahip bir rastgele değişkenin varyansı, deneme sayısı ile başarı ve başarısızlık olasılıklarının çarpımına eşittir.

3

Sayısal değerleri yerine koyarak hesaplamayı tamamlayın.

50 \times 0,2 \times 0,8 = 10 \times 0,8 = 8

İstenen istatistiksel ölçüyü bulmak için aritmetik işlem yapılır.

Anahtar Kavram

Binom Dağılımı Varyansı

İpuçları

1

Binom dağılımında varyans hesaplamak için

n

,

p

ve

q

(başarısızlık olasılığı) değerlerini çarpmanız gerekir.

Daha Fazla Pratik

Aynı parametrelerle beklenen değeri hesaplayarak aradaki farkı pekiştirebilirsiniz.

Tahmini Süre:45s

Soru 9Soru →

Bir kamu kurumunda çalışan bir uzman, hazırladığı raporların belirli bir denetimden geçme sürecini incelemektedir. Raporların ilk incelemede reddedilme durumları birbirinden bağımsızdır ve her bir rapor için reddedilme olasılığı sabit bir $p$ değeridir.

Uzmanın rastgele seçtiği $n$ adet raporun reddedilme sayısının beklenen değeri $1,2$ ve varyansı $0,84$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, uzmanın hazırladığı bu $n$ adet rapordan tam olarak $3$ 'ünün ilk incelemede reddedilme olasılığı kaçtır?

0,0189

0,0567

0,0756

0,1029

0,4116

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,0756

Cevap

Uzmanın hazırladığı raporlardan tam olarak 3'ünün reddedilme olasılığı 0,0756'dır.

Verilen bilgilere göre, reddedilen rapor sayısı

X

olmak üzere

X \sim Bin(n, p)

dağılımına sahiptir. Beklenen değer

E[X] = np = 1,2

ve varyans

Var(X) = np(1-p) = 0,84

eşitlikleri taraf tarafa bölündüğünde veya yerine yazıldığında

1-p = 0,7

ve dolayısıyla

p = 0,3

bulunur. Bu değer beklenen değer formülünde yerine konulduğunda

n = 4

olarak hesaplanır. Tam olarak 3 raporun reddedilme olasılığı Binom olasılık formülü ile

P(X=3) = \binom{4}{3} (0,3)^3 (0,7)^1 = 4 \cdot 0,027 \cdot 0,7 = 0,0756

şeklinde doğru olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Beklenen değer ve varyans eşitliklerini oluştur.

E[X] = np = 1,2

ve

Var(X) = np(1-p) = 0,84

Binom dağılımında parametreleri bulabilmek için dağılımın temel özelliklerini denkleme dökmek gereklidir.

2

Oluşturulan eşitlik sistemini çözerek n ve p parametrelerini hesapla.

np(1-p) = 0,84 \implies 1,2(1-p) = 0,84 \implies 1-p = 0,7 \implies p = 0,3

. Buradan

n \cdot 0,3 = 1,2 \implies n = 4

elde edilir.

Olasılık hesaplaması yapabilmek için deneme sayısına (

n

) ve başarı olasılığına (

p

) ihtiyaç vardır.

3

Elde edilen parametrelerle

P(X=3)

olasılığını hesapla.

P(X=3) = \binom{4}{3} (0,3)^3 (0,7)^1 = 4 \cdot 0,027 \cdot 0,7 = 0,0756

Tam olarak 3 raporun reddedilme olasılığını veren Binom olasılık kütle fonksiyonu uygulanmalıdır.

Anahtar Kavram

Binom Dağılımının Beklenen Değer, Varyans Özellikleri ve Olasılık Fonksiyonu

Soru 10Soru →

Bir kamu kurumunda gerçekleştirilen belirli bir türdeki bağımsız $n$ adet idari işlemin her birinin yasal süre içinde tamamlanma olasılığı $p$ 'dir. Yasal süre içinde tamamlanan işlem sayısı $X$ rastgele değişkeni ile modellenmektedir ve $X \sim \text{Bin}(n, p)$ dağılımına sahiptir.

Bu dağılıma ilişkin olarak,

E[X] = 3 \cdot \text{Var}(X)

\frac{P(X=3)}{P(X=2)} = 2

eşitlikleri verilmektedir.

Buna göre, incelenen $n$ adet işlemden en az 1'inin yasal süre içinde tamamlanma olasılığı ( $P(X \ge 1)$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{10}{243}

\frac{26}{27}

\frac{31}{32}

\frac{211}{243}

\frac{242}{243}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{242}{243}$

Cevap

İstenen olasılık, parametreleri bulunduktan sonra tümleyen kuralı ile hesaplanan

\frac{242}{243}

değeridir.

Beklenen değer (

np

) ve varyans (

np(1-p)

) bağıntısı kurularak

p = 2/3

olduğu tespit edilir. Ardından Binom kütle fonksiyonlarının birbirine oranı açılarak deneme sayısının

n = 5

olduğu saptanır. Soruda istenen "en az 1 başarı" olasılığı, tüm olasılıklardan (1), hiç başarı olmaması durumunun (

P(X=0) = (1/3)^5

) çıkarılmasıyla hesaplanarak sonucun

242/243

olduğu kanıtlanır.

Adım Adım Çözüm

1

Beklenen değer ve varyans ilişkisinden

p

parametresini hesapla.

p = \frac{2}{3}

Binom dağılımında

E[X] = np

ve

\text{Var}(X) = np(1-p)

formülleri,

E[X] = 3 \cdot \text{Var}(X)

denkleminde yerine yazıldığında

np = 3np(1-p) \implies 1 = 3(1-p) \implies p = \frac{2}{3}

elde edilir.

2

Verilen olasılık oranı eşitliğini kullanarak

n

parametresini bul.

n = 5

Binom olasılık formülünde oran yazıldığında

\frac{P(X=3)}{P(X=2)} = \frac{\binom{n}{3} p^3 (1-p)^{n-3}}{\binom{n}{2} p^2 (1-p)^{n-2}} = \frac{n-2}{3} \cdot \frac{p}{1-p}

olur.

p = \frac{2}{3}

değeri yerine konulduğunda

\frac{n-2}{3} \cdot 2 = 2 \implies n-2=3 \implies n=5

bulunur.

3

P(X \ge 1)

olasılığını tümleyen kuralını kullanarak hesapla.

P(X \ge 1) = \frac{242}{243}

En az 1 işlemin başarılı olma olasılığı, 1'den hiçbir işlemin başarılı olmama olasılığının çıkarılması ile bulunur:

P(X \ge 1) = 1 - P(X=0) = 1 - \binom{5}{0}(\frac{2}{3})^0(\frac{1}{3})^5 = 1 - \frac{1}{243} = \frac{242}{243}

.

Anahtar Kavram

Binom Dağılımının Parametreleri, Beklenen Değer, Varyans ve Olasılık Fonksiyonu

Soru 11Soru →

Bir tarım il müdürlüğü ekipleri, bölgedeki seralarda belirli bir bitki hastalığının yaygınlığını araştırmaktadır. Yapılan ön çalışmalara göre, rastgele seçilen herhangi bir serada bu hastalığa rastlanma olasılığı $\frac{1}{3}$ 'tür. Seraların hastalık taşıma durumlarının birbirinden bağımsız olduğu varsayılmaktadır.

Denetim için bölgeden rastgele $5$ sera seçen bir ziraat mühendisinin, bu seraların en fazla $1$ 'inde söz konusu hastalığa rastlama olasılığı kaçtır?

\frac{11}{243}

\frac{48}{243}

\frac{80}{243}

\frac{112}{243}

\frac{211}{243}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{112}{243}$

Cevap

İstenen olasılık,

X=0

ve

X=1

durumlarının olasılıklarının toplamı olan

\frac{112}{243}

değeridir.

Verilen senaryoda seraların hastalık taşıma durumları birbirinden bağımsızdır ve sabit bir olasılığa (

p=\frac{1}{3}

) sahiptir. Bu, deneme sayısının

n=5

olduğu bir Binom dağılımını gösterir. Soru bizden 'en fazla 1' serada hastalığa rastlanma olasılığını (

P(X \le 1)

) istemektedir. Bu ifade

P(X=0)

ve

P(X=1)

olasılıklarının toplamını ifade eder. Formül uygulandığında

P(X=0) = \frac{32}{243}

ve

P(X=1) = \frac{80}{243}

bulunur. Toplamları olan

\frac{112}{243}

doğru yanıttır.

Adım Adım Çözüm

1

Verilen problemi uygun bir olasılık dağılımı ile modelleyin.

Bağımsız denemeler (seralar) yapıldığı ve her denemede hastalığa rastlanma olasılığı sabit (

p=\frac{1}{3}

) olduğu için,

X

(hastalıklı sera sayısı) rastgele değişkeni

Binom(n=5, p=\frac{1}{3})

dağılımına uyar.

İki sonuçlu (hastalık var/yok) ve sabit olasılıklı, birbirinden bağımsız ardışık deneyler Binom dağılımı ile incelenir.

2

Soruda istenen 'en fazla 1' durumunu matematiksel olarak ifade edin.

İstenen durum

X \le 1

eşitsizliğidir. Bu durum

X=0

ve

X=1

olasılıklarının toplamına eşittir:

P(X \le 1) = P(X=0) + P(X=1)

.

Kesikli olasılık dağılımlarında kümülatif olasılıklar, ilgili sınır içindeki ayrık nokta olasılıklarının toplamı ile bulunur.

3

Binom olasılık formülünü kullanarak

P(X=0)

değerini hesaplayın.

P(X=0) = \binom{5}{0} \left(\frac{1}{3}\right)^0 \left(\frac{2}{3}\right)^5 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{32}{243} = \frac{32}{243}

Hiçbir serada hastalık görülmemesi için tüm denemelerin başarısız (

1-p = \frac{2}{3}

) sonuçlanması gerekir.

4

Binom olasılık formülünü kullanarak

P(X=1)

değerini hesaplayın.

P(X=1) = \binom{5}{1} \left(\frac{1}{3}\right)^1 \left(\frac{2}{3}\right)^4 = 5 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{16}{81} = \frac{80}{243}

Sadece 1 serada hastalık görülmesi için

n

denemeden

1

'inin seçilmesi ve ilgili başarısızlık durumlarının çarpılması gerekir.

5

Bulunan olasılıkları toplayarak nihai sonuca ulaşın.

P(X \le 1) = \frac{32}{243} + \frac{80}{243} = \frac{112}{243}

olarak bulunur.

Ayrık durumların toplam olasılığı, parçaların olasılıklarının toplamıdır.

Anahtar Kavram

Binom dağılımında kümülatif olasılık (Birikimli dağılım) hesaplama

Soru 12Soru →

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) müfettişi, işletmelerin iş kazası bildirim dosyalarını incelemektedir. Yapılan istatistiksel analizlere göre, kuruma sunulan herhangi bir iş kazası dosyasının eksik evrak içerme olasılığı $\frac{1}{5}$ 'tir ve dosyalar birbirinden bağımsız olarak değerlendirilmektedir.

Müfettişin rastgele seçip incelediği 4 dosyadan en az 3'ünün eksik evrak içerme olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

\frac{1}{625}

\frac{1}{125}

\frac{16}{625}

\frac{17}{625}

\frac{512}{625}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{17}{625}$

Cevap

Rastgele seçilen 4 dosyadan en az 3'ünün eksik evrak içerme olasılığı

\frac{17}{625}

'tir.

İstenen durum, 4 dosyadan en az 3'ünün eksik evrak içermesidir. Bu, tam olarak 3 dosyanın veya tam olarak 4 dosyanın eksik evrak içermesi durumlarının toplamıdır. Binom olasılık fonksiyonu kullanılarak

P(X=3) = \frac{16}{625}

ve

P(X=4) = \frac{1}{625}

bulunur. Bu iki değer toplandığında doğru cevap

\frac{17}{625}

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Problemi tanımlama ve dağılımı belirleme

X

rastgele değişkeni 'eksik evrak içeren dosya sayısı' olsun.

X

,

n=4

ve

p=\frac{1}{5}

parametreli Binom dağılımına uyar.

Dosyalar birbirinden bağımsızdır ve her birinin eksik evrak içerme olasılığı sabittir.

2

İstenen olasılık ifadesini yazma

P(X \geq 3) = P(X = 3) + P(X = 4)

'En az 3' ifadesi, tam olarak 3 veya tam olarak 4 dosyanın eksik evrak içermesi durumlarını kapsar.

3

P(X=3) değerini hesaplama

P(X=3) = \binom{4}{3} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^3 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^1 = 4 \cdot \frac{1}{125} \cdot \frac{4}{5} = \frac{16}{625}

Tam olarak 3 dosyanın eksik evrak içerme olasılığı Binom olasılık kütle fonksiyonu ile hesaplanır.

4

P(X=4) değerini hesaplama

P(X=4) = \binom{4}{4} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^4 \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^0 = 1 \cdot \frac{1}{625} \cdot 1 = \frac{1}{625}

Tam olarak 4 dosyanın eksik evrak içerme olasılığı Binom olasılık kütle fonksiyonu ile hesaplanır.

5

Olasılıkları toplama

P(X \geq 3) = \frac{16}{625} + \frac{1}{625} = \frac{17}{625}

Ayrık olaylar oldukları için her iki durumun olasılıkları toplanarak nihai sonuca ulaşılır.

Anahtar Kavram

Binom olasılık dağılımı kullanılarak birikimli olasılık hesabı

Binom Dağılımı

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

İpuçları

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar