Examkin

Soru

Zorluk: OrtaBinom Dağılımı

Bir Ulaştırma ve Altyapı Bakanlığı denetim istasyonunda ticari araçların ağırlıkları kontrol edilmektedir. İstasyona giren bir ticari aracın yasal yük sınırını aşmış (aşırı yüklü) olma olasılığı 14\frac{1}{4}'tür. İstasyona giren rastgele 44 ticari araç bağımsız olarak incelenmektedir.

Buna göre, yasal yük sınırını aşmış araç sayısının, incelenen bu 44 araç için beklenen aşırı yüklü araç sayısından daha fazla olma olasılığı kaçtır?

  1. 67256\frac{67}{256}Cevap
  2. B
    189256\frac{189}{256}
  3. C
    175256\frac{175}{256}
  4. D
    3764\frac{37}{64}
  5. E
    243256\frac{243}{256}

Cevap

Beklenen aşırı yüklü araç sayısından daha fazla aşırı yüklü araç bulunma olasılığı 67256\frac{67}{256}'dır.
Beklenen aşırı yüklü araç sayısı E(X)=n⋅p=4⋅14=1E(X) = n \cdot p = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1 olarak bulunur. Beklenen değerden daha fazla aşırı yüklü araç bulunması ihtimali P(X>1)P(X > 1) ile gösterilir. Bu olasılık, tüm olasılıkların toplamı olan 11'den, hiç aşırı yüklü araç olmaması (X=0X=0) ve tam 11 aşırı yüklü araç olması (X=1X=1) olasılıklarının toplamının çıkarılmasıyla bulunur: 1−(81256+108256)=672561 - \left(\frac{81}{256} + \frac{108}{256}\right) = \frac{67}{256}.

Adım Adım Çözüm

1
Rastgele değişkenin dağılımını ve parametrelerini belirle.
X∼Binom(n=4,p=14)X \sim \text{Binom}\left(n=4, p=\frac{1}{4}\right)
Bağımsız denemeler ve her araç için sabit bir başarı (aşırı yüklü olma) olasılığı bulunduğundan binom dağılımı kullanılır.
2
Beklenen değeri (ortalama aşırı yüklü araç sayısı) hesapla.
E(X)=n⋅p=4⋅14=1E(X) = n \cdot p = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1
Soruda istenen koşul, araç sayısının beklenen değere göre durumunu sormaktadır.
3
İstenen olasılık ifadesini matematiksel olarak kur.
P(X>E(X))⇒P(X>1)P(X > E(X)) \Rightarrow P(X > 1)
Araç sayısının beklenen değerden 'daha fazla' olması kesin bir büyüklük (>>) ifade eder.
4
Tümleyen olay kuralını kullanarak hesaplanacak durumları sadeleştir.
P(X>1)=1−P(X≤1)=1−[P(X=0)+P(X=1)]P(X > 1) = 1 - P(X \le 1) = 1 - [P(X = 0) + P(X = 1)]
Üç durumu (X=2,3,4X=2,3,4) tek tek hesaplamak yerine, iki durumu (X=0,1X=0,1) hesaplayıp tümleyeni almak daha az işlem gerektirir.
5
X=0X=0 ve X=1X=1 için olasılıkları hesapla.
P(X=0)=(40)(14)0(34)4=81256P(X=0) = \binom{4}{0}\left(\frac{1}{4}\right)^0\left(\frac{3}{4}\right)^4 = \frac{81}{256}

P(X=1)=(41)(14)1(34)3=4⋅14⋅2764=108256P(X=1) = \binom{4}{1}\left(\frac{1}{4}\right)^1\left(\frac{3}{4}\right)^3 = 4 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{27}{64} = \frac{108}{256}
Binom olasılık kütle fonksiyonu P(X=x)=(nx)px(1−p)n−xP(X=x) = \binom{n}{x}p^x(1-p)^{n-x} formülü ile nokta olasılıkları bulunur.
6
Hesaplanan olasılıkları toplayıp, toplam olasılık olan 11'den çıkararak sonucu bul.
P(X>1)=1−(81256+108256)=1−189256=67256P(X > 1) = 1 - \left(\frac{81}{256} + \frac{108}{256}\right) = 1 - \frac{189}{256} = \frac{67}{256}
Tüm olasılıkların toplamının 11 olması kuralı uygulanır.

Anahtar Kavram

Binom dağılımında beklenen değer hesaplaması ve birikimli olasılık hesabı sırasında tümleyen kuralının uygulanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Binom Dağılımı

Bu konudan daha fazla soru