Examkin

Soru

Zorluk: OrtaKayıp Fonksiyonları, Risk ve Minimax Tahmin Ediciler

Bir kamu kurumunun analiz biriminde, belirli bir hizmet noktasına gelen günlük başvuru sayıları λ\lambda parametreli Poisson dağılımına uygun olarak modellenmektedir. Kurum uzmanları, nn günlük bağımsız gözlem sonuçlarının ortalaması olan Xˉ\bar{X} istatistiğini λ\lambda parametresi için tahmin edici olarak kullanmaktadır.

Tahmin sürecinde, hataların parametre büyüklüğüne göre oransal etkisini dikkate alan ağırlıklandırılmış karesel kayıp fonksiyonu L(λ,Xˉ)=(Xˉ−λ)2λL(\lambda, \bar{X}) = \frac{(\bar{X} - \lambda)^2}{\lambda} olarak tanımlanmıştır.

Buna göre, uzmanların kullandığı Xˉ\bar{X} tahmin edicisinin risk fonksiyonu R(λ,Xˉ)R(\lambda, \bar{X}) aşağıdakilerden hangisine eşittir?

  1. A
    λn\frac{\lambda}{n}
  2. B
    11
  3. 1n\frac{1}{n}Cevap
  4. D
    1n2\frac{1}{n^2}
  5. E
    1λn\frac{1}{\lambda n}

Cevap

Risk fonksiyonunun değeri 1n\frac{1}{n} olarak hesaplanır.
Risk fonksiyonu R(θ,θ^)R(\theta, \hat{\theta}), tanımlanan kayıp fonksiyonunun beklenen değerine eşittir. Verilen L(λ,Xˉ)L(\lambda, \bar{X}) fonksiyonunun beklenen değerini aldığımızda, 1/λ1/\lambda sabit çarpanı dışarı çıkar. Geriye kalan E[(Xˉ−λ)2]E[(\bar{X} - \lambda)^2] ifadesi, Xˉ\bar{X} yansız bir tahmin edici olduğu için doğrudan Xˉ\bar{X}'in varyansını (Var(Xˉ\bar{X})) verir. Poisson dağılımında kitle varyansı λ\lambda'dır; dolayısıyla nn hacimli örneklemin ortalamasının varyansı λ/n\lambda/n'dir. Bu değeri risk formülünde yerine yazdığımızda 1/λ⋅(λ/n)1/\lambda \cdot (\lambda/n) sadeleşerek geriye 1/n1/n kalır. Bu durum, bu tahmin edicinin riskinin parametre değerinden bağımsız ve sabit olduğunu gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Risk fonksiyonunun tanımını kayıp fonksiyonunun beklenen değeri olarak yazın.
R(λ,Xˉ)=E[L(λ,Xˉ)]R(\lambda, \bar{X}) = E[L(\lambda, \bar{X})]
Risk fonksiyonu, kullanılan kayıp fonksiyonunun örneklem uzayı üzerindeki beklenen (ortalaması alınan) değeridir.
2
Verilen L(λ,Xˉ)L(\lambda, \bar{X}) fonksiyonunu beklenen değer formülünde yerine koyun.
R(λ,Xˉ)=E[(Xˉ−λ)2λ]R(\lambda, \bar{X}) = E\left[\frac{(\bar{X} - \lambda)^2}{\lambda}\right]
Soru kökünde ağırlıklandırılmış karesel kayıp fonksiyonu tanımlanmıştır.
3
Beklenen değer operatörünün doğrusal özelliğini kullanarak sabiti (1λ\frac{1}{\lambda}) dışarı alın.
R(λ,Xˉ)=1λE[(Xˉ−λ)2]R(\lambda, \bar{X}) = \frac{1}{\lambda} E[(\bar{X} - \lambda)^2]
λ\lambda bilinen bir parametredir ve beklenen değer işlemi rastgele değişken olan Xˉ\bar{X} üzerinden yapılmaktadır.
4
E[(Xˉ−λ)2]E[(\bar{X} - \lambda)^2] ifadesinin istatistiksel karşılığını belirleyin.
E[(Xˉ−E[Xˉ])2]=Var(Xˉ)E[(\bar{X} - E[\bar{X}])^2] = Var(\bar{X})
Xˉ\bar{X}, λ\lambda için yansız bir tahmin edicidir (E[Xˉ]=λE[\bar{X}] = \lambda). Bu nedenle tahmin hatasının karesinin beklenen değeri doğrudan Xˉ\bar{X}'in varyansına eşittir.
5
Poisson dağılımı için örneklem ortalamasının varyansını hesaplayın ve yerine koyarak işlemi tamamlayın.
Var(Xˉ)=Var(X)n=λnVar(\bar{X}) = \frac{Var(X)}{n} = \frac{\lambda}{n} olduğundan; R(λ,Xˉ)=1λ⋅λn=1nR(\lambda, \bar{X}) = \frac{1}{\lambda} \cdot \frac{\lambda}{n} = \frac{1}{n} bulunur.
Risk değerini λ\lambda ve nn cinsinden sadeleştirmek sonuca ulaşmayı sağlar.

Anahtar Kavram

Risk Fonksiyonunun Beklenen Değer ile Hesaplanması
Bu soruyu puanla

Konular

Kayıp Fonksiyonları, Risk ve Minimax Tahmin Ediciler

Bu konudan daha fazla soru