Examkin

Soru

Zorluk: KolayKesikli Rastgele Değişkenlerde Dönüşümler

Ulaştırma Bakanlığı tarafından işletilen bir otoyol gişesinde, geçiş yapan araçların belirlenen hız limitinden sapma miktarları (km/sa cinsinden) XX kesikli rastgele değişkeni ile temsil edilmektedir. XX değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki tabloda verilmiştir:

xx-2-112
P(X=x)P(X=x)0,150,350,350,15

Bu gişedeki sistemde, hız limitinden sapmanın karesini temel alan bir ceza endeksi Y=X2Y = X^2 olarak tanımlanmıştır.

Buna göre, ceza endeksinin 1 olma olasılığı (P(Y=1)P(Y=1)) kaçtır?

  1. A
    0,15
  2. B
    0,35
  3. C
    0,50
  4. 0,70Cevap
  5. E
    1,00

Cevap

Ceza endeksinin 1 olma olasılığı 0,70 değeridir.
Dönüşüm fonksiyonu Y=X2Y = X^2 olduğunda, Y=1Y = 1 sonucunu veren XX değerleri hem −1-1 hem de 11'dir. Bu nedenle P(Y=1)P(Y=1) olasılığını bulmak için bu iki bağımsız durumun olasılıkları (0,35+0,350,35 + 0,35) toplanarak 0,700,70 sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Y=X2Y = X^2 dönüşümü altında YY değişkeninin alabileceği değerler kümesini belirle.
Y∈{(−2)2,(−1)2,12,22}={1,4}Y \in \{(-2)^2, (-1)^2, 1^2, 2^2\} = \{1, 4\}
Dönüşümün sonucunda ortaya çıkan yeni rastgele değişkenin destek kümesini tanımlamak gerekir.
2
Y=1Y = 1 eşitliğini sağlayan XX değerlerini tespit et.
X2=1⇒X=−1X^2 = 1 \Rightarrow X = -1 veya X=1X = 1
Kesikli rastgele değişkenlerde dönüşüm olasılığı, o değeri veren tüm başlangıç değerlerinin olasılıkları toplamıdır.
3
İlgili XX değerlerinin olasılıklarını topla.
P(Y=1)=P(X=−1)+P(X=1)=0,35+0,35=0,70P(Y=1) = P(X=-1) + P(X=1) = 0,35 + 0,35 = 0,70
Dönüşüm bire-bir olmadığı için (non-monotonic), aynı YY değerine giden tüm XX noktaları toplanmalıdır.

Anahtar Kavram

Kesikli rastgele değişkenlerde bire-bir olmayan dönüşümlerin olasılık kütle fonksiyonunun hesaplanması (çakışan değerlerin toplamı).

Daha Fazla Pratik

Benzer bir mantıkla Y=∣X∣Y = |X| dönüşümü için P(Y=2)P(Y=2) değerini hesaplayarak çakışan değerlerin toplamı kavramını pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Olasılık tablosunu doğrudan YY değerleri için yeniden düzenleyebiliriz: Y=1Y=1 için P(X=−1)+P(X=1)=0,70P(X=-1)+P(X=1)=0,70 ve Y=4Y=4 için P(X=−2)+P(X=2)=0,30P(X=-2)+P(X=2)=0,30. Bu yeni tablo üzerinden Y=1Y=1 satırına bakılabilir.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Kesikli Rastgele Değişkenlerde Dönüşümler