Bir vergi müfettişi, rastgele seçilen kurumlar vergisi beyannamelerini sırasıyla incelemek… — KPSS İstatistik

Bir vergi müfettişi, rastgele seçilen kurumlar vergisi beyannamelerini sırasıyla incelemektedir. İncelediği her bir beyannamenin usulsüz (hatalı) olma olasılığı $\frac{1}{6}$ 'dır ve her inceleme birbirinden bağımsızdır.

Müfettişin ilk usulsüz beyannameyi bulana kadar incelediği toplam beyanname sayısı $X$ rastgele değişkeni ile gösterilmektedir.

Müfettişin incelediği ilk 3 beyannamede herhangi bir usulsüzlük bulamadığı bilindiğine göre, ilk usulsüz beyannameyi tam olarak 6. incelemesinde bulma olasılığı ile $X$ rastgele değişkeninin varyansı ( $Var(X)$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

A
$\frac{125}{216}$ ve $36$
$\frac{25}{216}$ ve $30$ Cevap
C
$\frac{5}{36}$ ve $30$
D
$\frac{125}{216}$ ve $30$
E
$\frac{25}{216}$ ve $36$

Cevap

İlk usulsüz beyannamenin 6. incelemede bulunma olasılığı

\frac{25}{216}

ve varyans değeri

30

'dur.

Geometrik dağılımda

X

, ilk başarıya kadar gerçekleştirilen toplam deneme sayısıdır. Dağılımın parametresi

p = \frac{1}{6}

'dır. Geometrik dağılımın temel özelliklerinden biri olan hafızasızlık (memoryless) özelliği gereği, geçmişte yaşanan başarısızlıklar geleceği etkilemez:

P(X > x+y \mid X > x) = P(X > y)

. Soruda ilk 3 denemede başarı olmadığı (

X > 3

) bilindiğinde, ilk başarının 6. denemede gelme olasılığı

P(X=6 \mid X>3) = P(X=3)

'e eşittir. Bu değer formülde yerine konulduğunda

P(X=3) = (1 - \frac{1}{6})^2 \cdot \frac{1}{6} = (\frac{5}{6})^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{216}

olarak bulunur. Toplam deneme sayısını ifade eden geometrik dağılımın varyans formülü ise

Var(X) = \frac{1-p}{p^2}

'dir. Değerler yerine yazıldığında varyans

\frac{5/6}{(1/6)^2} = 30

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

X

rastgele değişkeninin dağılımını ve parametresini belirleme

X \sim Geo(p)

olup

p = \frac{1}{6}

'dır.

İlk başarıya (usulsüzlük bulmaya) kadar yapılan toplam deneme sayısı geometrik dağılıma uyar.

İstenen olasılığı hafızasızlık (memoryless) özelliğini kullanarak basitleştirme

P(X=6 \mid X>3) = P(X = 6-3) = P(X=3)

Geometrik dağılım hafızasızlık özelliğine sahiptir, yani geçmiş başarısızlıklar gelecekteki başarı olasılığını etkilemez.

P(X=3)

olasılığını hesaplama

P(X=3) = (1 - \frac{1}{6})^2 \cdot \frac{1}{6} = (\frac{5}{6})^2 \cdot \frac{1}{6} = \frac{25}{216}

Geometrik dağılımda

k

. denemede ilk başarının elde edilme olasılığı

(1-p)^{k-1} \cdot p

'dir.

X

rastgele değişkeninin varyansını hesaplama

Var(X) = \frac{1-p}{p^2} = \frac{5/6}{(1/6)^2} = \frac{5/6}{1/36} = 30

Toplam deneme sayısını modelleyen geometrik dağılımın varyans formülü

\frac{1-p}{p^2}

şeklindedir.

Anahtar Kavram

Geometrik Dağılımın Hafızasızlık Özelliği ve Varyansı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru