Examkin

Soru

Zorluk: OrtaOran Tahminleyicisinin Varyansı (Hata Karesi Ortalaması) ve Yanlılığı

Türkiye İstatistik Kurumu (TÜİK) bünyesinde görevli bir uzman, bölgesel hanehalkı gıda harcamalarını tahmin etmek amacıyla hanehalkı büyüklüğünü yardımcı değişken olarak modele dahil eden bir oran tahminleyicisi geliştirmiştir. Uzman, elde edeceği tahminlerin istatistiksel geçerliliğini değerlendirmek için bu tahminleyicinin varyansını, hata karesi ortalamasını (MSE) ve beklenen değerini kapsayan bir teorik inceleme yapmaktadır.

Yapılan bu inceleme kapsamında, kullanılan oran tahminleyicisinin yanlılığı (bias) ve hata karesi ortalaması ile ilgili aşağıdaki çıkarımlardan hangisi istatistiksel olarak doğrudur?

  1. A
    Tahminleyicinin yanlılığı hesaplanırken, örneklemden örnekleme değişen istatistiğin beklenen değeri yerine sadece sabit olan kitle parametresinin örnekleme varyansı dikkate alınır.
  2. B
    Yardımcı değişkenin modele dahil edilmesi, oran tahminleyicisinin örneklem hacminden bağımsız olarak her durumda daima yansız sonuçlar üretmesini garanti eder.
  3. Oran tahminleyicisi genel olarak yanlı bir istatistiktir; fakat örneklem hacmi büyüdükçe bu yanlılık giderek azalır ve tahminleyici asimptotik olarak yansız bir yapıya kavuşur.Cevap
  4. D
    İadesiz seçim yöntemiyle çalışılan tasarımlarda, oran tahminleyicisinin hata karesi ortalaması hesaplanırken sonlu kitle düzeltme çarpanının formüle eklenmesine gerek yoktur.
  5. E
    Oran tahminleyicisi yardımıyla kitle toplamı tahmin edilirken, ortalama tahminine ait hata karesi ortalaması değeri doğrudan kullanılır ve kitle hacminin karesiyle büyütme işlemi yapılmaz.

Cevap

Oran tahminleyicisi genel olarak yanlı bir istatistiktir; fakat örneklem hacmi büyüdükçe bu yanlılık giderek azalır ve tahminleyici asimptotik olarak yansız bir yapıya kavuşur.
Oran tahminleyicisi, doğası gereği iki rassal değişkenin oranından oluştuğu için küçük örneklem boyutlarında beklenen değeri kitle parametresine tam olarak eşit olmaz, yani yanlıdır. Ancak bu yanlılık örneklem hacmiyle ters orantılıdır (O(n−1)O(n^{-1})). Dolayısıyla örneklem hacmi arttıkça tahminleyicinin yanlılığı hızla azalır ve asimptotik yansızlık özelliği gösterir.

Adım Adım Çözüm

1
Oran tahminleyicisinin matematiksel yapısını ve beklenen değerini incele.
Oran tahminleyicisi (R^=yˉ/xˉ \hat{R} = \bar{y} / \bar{x} ), iki rassal değişkenin birbirine oranı şeklinde tanımlandığı için doğrusal olmayan bir fonksiyondur. Bu durum tahminleyicinin küçük örneklem hacimlerinde yanlılık (bias) barındırmasına neden olur.
Tahminleyicinin neden her zaman yansız olamayacağını teorik olarak ortaya koymak için.
2
Örneklem hacminin (nn) tahminleyicinin yanlılığı üzerindeki etkisini değerlendir.
Oran tahminleyicisinin yanlılığı yaklaşık olarak 1/n1/n ile orantılıdır. Örneklem hacmi büyüdükçe yanlılık miktarı sıfıra doğru yaklaşır.
Tahminleyicinin asimptotik yansızlık (büyük örneklemlerde yansızlaşma) özelliğini doğrulamak için.

Anahtar Kavram

Oran Tahminleyicisinin Asimptotik Yansızlığı
Bu soruyu puanla

Konular

Oran Tahminleyicisinin Varyansı (Hata Karesi Ortalaması) ve Yanlılığı