Bir büyükşehir belediyesi, sınırları içerisindeki sanayi tesislerinin aylık ortalama su tü… — KPSS İstatistik

Bir büyükşehir belediyesi, sınırları içerisindeki sanayi tesislerinin aylık ortalama su tüketimini (ton) tahmin etmek amacıyla tabakalı rastgele örnekleme yöntemini kullanmıştır. Tesisler, üretim kapasitelerine göre 'Düşük', 'Orta' ve 'Yüksek' olmak üzere üç tabakaya ayrılmıştır.

Bu tabakalara ilişkin kitle hacimleri ( $N_h$ ), örneklem hacimleri ( $n_h$ ), örneklem ortalamaları ( $\bar{y}_h$ ) ve örneklem varyansları ( $s_h^2$ ) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Tabaka	Kapasite	$N_h$	$n_h$	$\bar{y}_h$	$s_h^2$
1	Düşük	500	50	100	220
2	Orta	300	30	150	300
3	Yüksek	200	20	200	500

Buna göre, kitle ortalamasının tahmin edicisi ( $\bar{y}_{st}$ ) ve bu tahmin edicinin varyansı ( $v(\bar{y}_{st})$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir? (Varyans sonucunu iki ondalık basamaklı olarak dikkate alınız.)

135 ; 2,70Cevap
B
150 ; 2,70
C
135 ; 3,00
D
150 ; 3,00
E
135 ; 9,18

Cevap

Kitle ortalamasının tahmin edicisi 135 ve bu tahmin edicinin varyansı 2,70 olarak bulunur.

Tabakalı örneklemede kitle ortalaması tahmin edicisi, tabaka ortalamalarının tabaka ağırlıkları (

W_h

) ile çarpılıp toplanmasıyla elde edilir. Ağırlıklar

W_1=0,5

W_2=0,3

W_3=0,2

olduğundan ortalama

0,5(100)+0,3(150)+0,2(200)=135

bulunur. Varyans hesaplanırken, örnekleme oranı (

f_h=0,1

) %5'ten büyük olduğu için Sonlu Kitle Düzeltme (SKD) çarpanı olan

(1-f_h)=0,9

dikkate alınmalıdır. Formül

v(\bar{y}_{st}) = \sum W_h^2 \frac{s_h^2}{n_h} (1-f_h)

uygulanarak varyans

(1,10 + 0,90 + 1,00) \times 0,9 = 2,70

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

Kitle büyüklüğünü (

N

) ve tabaka ağırlıklarını (

W_h

) hesaplamak

N = 500 + 300 + 200 = 1000

W_1 = 0,5

W_2 = 0,3

W_3 = 0,2

Tabakalı ortalama ve varyans formüllerinde kullanmak için tabakaların kitle içindeki oranlarına ihtiyaç vardır.

Kitle ortalamasının tahmin edicisini (

\bar{y}_{st}

) hesaplamak

\bar{y}_{st} = (0,5 \times 100) + (0,3 \times 150) + (0,2 \times 200) = 50 + 45 + 40 = 135

Tabaka ortalamaları, ait oldukları tabakanın kitledeki ağırlığıyla çarpılarak toplanmalıdır.

Örnekleme oranlarını (

f_h

) hesaplamak ve Sonlu Kitle Düzeltme (SKD) çarpanını belirlemek

f_1 = 50/500 = 0,1

f_2 = 30/300 = 0,1

f_3 = 20/200 = 0,1

. Her tabaka için SKD =

1 - 0,1 = 0,9

Örneklem hacmi, kitle hacminin %5'inden büyük olduğu için varyans hesabında SKD kullanılmalıdır.

Kitle ortalamasının tahmin edicisinin varyansını (

v(\bar{y}_{st})

) hesaplamak

v(\bar{y}_{st}) = [ (0,5)^2 \frac{220}{50} + (0,3)^2 \frac{300}{30} + (0,2)^2 \frac{500}{20} ] \times 0,9 = [0,25(4,4) + 0,09(10) + 0,04(25)] \times 0,9 = (1,10 + 0,90 + 1,00) \times 0,9 = 3,00 \times 0,9 = 2,70

Tabakalı varyans, tabaka varyanslarının ağırlıkların karesi (

W_h^2

) ile çarpılıp örneklem hacmine bölünmesi ve SKD ile düzeltilmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Tabakalı Rastgele Örneklemede Kitle Ortalamasının ve Varyansının Tahmini

Tahmini Süre:3m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru