Kesikli bir X rastgele değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu (PMF) aşağıdaki tabloda verilmiştir: | x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | |---|---|---|---|---|---|---| | P(X=x) | 0.1 | 0.2 | 0.1 | 0.2 | 0.3 | 0.1 | Y = (X - 1)^2 dönüşümü ile yeni bir Y rastgele değişkeni tanımlanıyor. Buna göre, Y değişken

Kesikli bir X rastgele değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu (PMF) aşağıdaki tabloda veri… — KPSS İstatistik

Kesikli bir $X$ rastgele değişkeninin olasılık kütle fonksiyonu (PMF) aşağıdaki tabloda verilmiştir:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$P(X=x)$	$0.1$	$0.2$	$0.1$	$0.2$	$0.3$	$0.1$

$Y = (X - 1)^2$ dönüşümü ile yeni bir $Y$ rastgele değişkeni tanımlanıyor.

Buna göre, $Y$ değişkeninin en yüksek olasılıklı değerinin (mod) olasılığı ile $Y$ 'nin beklenen değeri $E[Y]$ 'nin toplamı kaçtır?

İstenen değer 2.9 olarak bulunur.

Doğru yanıt, dönüşüm sonucu bire-bir eşleşmeyen değerlerin olasılıklarının toplanması ile kurulan yeni PMF tablosundan elde edilir.

Y

'nin en yüksek olasılığı

0.4

'tür ve LOTUS formülüyle hesaplanan beklenen değer

2.5

'tir. Bunların toplamı

2.9

'u verir.

Y

rastgele değişkeninin alabileceği değerleri ve yeni olasılık kütle fonksiyonunu (PMF) belirleme.

P(Y=0)=0.2

P(Y=1)=0.4

P(Y=4)=0.3

P(Y=9)=0.1

Y=(X-1)^2

bire-bir olmayan bir dönüşüm olduğundan, aynı

Y

değerini veren

X

'lerin olasılıkları toplanmalıdır (

x=0

x=2

için

Y=1

;

x=-1

x=3

için

Y=4

Y

'nin en yüksek olasılıklı değerinin (mod) olasılığını bulma.

En yüksek olasılık

P(Y=1) = 0.4

olarak bulunur.

Oluşturulan yeni olasılık dağılımında en büyük kütleye sahip olasılık değeri

0.4

'tür.

Y

değişkeninin beklenen değerini

E[Y]

hesaplama.

E[Y] = 0(0.2) + 1(0.4) + 4(0.3) + 9(0.1) = 2.5

Beklenen değer tanımı gereği, rastgele değişkenin alabileceği her bir değerin kendi olasılığı ile çarpımlarının toplamıdır.

Bulunan modun olasılığı ile beklenen değeri toplama.

0.4 + 2.5 = 2.9

Soru bizden bu iki hesaplanmış niceliğin cebirsel toplamını istemektedir.

Kesikli Değişkenlerde Dönüşümler ve Dağılım Fonksiyonu Çıkarımı

Y

'nin beklenen değerini hesaplarken yeni PMF'yi bulmak yerine doğrudan LOTUS (Law of the Unconscious Statistician) teoremini kullanabilirsiniz:

E[(X-1)^2] = \sum (x-1)^2 \cdot P(X=x)

. PMF sadece mod olasılığını bulmak için mecburen çıkarılmalıdır.

Tahmini Süre:2m 30s