Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorYapay Değişkenli Yöntemler (Büyük-M ve İki Evreli)

Endüstriyel bir üretim sürecinin optimizasyonu için kurgulanan matematiksel model aşağıda verilmiştir:

Maksimum Z=50x1+80x2\text{Maksimum } Z = 50x_1 + 80x_2
Kısıtlar:\text{Kısıtlar:}
x1+2x2≤30x_1 + 2x_2 \leq 30
3x1+x2≥243x_1 + x_2 \geq 24
x1+x2=18x_1 + x_2 = 18
x1,x2≥0x_1, x_2 \geq 0

Bu problemin başlangıç temel uygun çözümünü bulmak amacıyla Büyük-M (Big-M) yöntemi uygulanacaktır. Model standart forma getirilip ilk simpleks tablosu oluşturulduğunda ve yapay değişkenler amaç fonksiyonu satırından yok edilerek tablo iterasyona hazır hale getirildiğinde; x1x_1, x2x_2 ve ikinci kısıta ait fazlalık (artık) değişkeni olan e1e_1'in **Zj−CjZ_j - C_j (net değerlendirme)** satırındaki değerleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

  1. −4M−50-4M - 50, −2M−80\quad -2M - 80, M\quad MCevap
  2. B
    −3M−50-3M - 50, −M−80\quad -M - 80, M\quad M
  3. C
    4M+504M + 50, 2M+80\quad 2M + 80, −M\quad -M
  4. D
    4M−504M - 50, 2M−80\quad 2M - 80, −M\quad -M
  5. E
    −4M−50-4M - 50, −2M−80\quad -2M - 80, −M\quad -M

Cevap

Standart formda Zj−CjZ_j - C_j hesaplamaları sonucunda x1x_1 için −4M−50-4M - 50, x2x_2 için −2M−80-2M - 80 ve e1e_1 için MM değerleri elde edilir.
Doğrusal programlama modelinin başlangıç temel uygun çözümü oluşturulurken s1s_1, a1a_1 ve a2a_2 temel değişkenler olarak seçilir. CBC_B vektörü maksimizasyon problemi olduğu için [0,−M,−M][0, -M, -M] olur. Zj−CjZ_j - C_j formülü her değişkenin sütun vektörü ile CBC_B çarpılıp kendisinin amaç fonksiyonundaki katsayısı çıkarılarak (CjC_j) bulunur. x1x_1 için 0(1)−M(3)−M(1)−50=−4M−500(1)-M(3)-M(1)-50 = -4M-50; x2x_2 için 0(2)−M(1)−M(1)−80=−2M−800(2)-M(1)-M(1)-80 = -2M-80; e1e_1 için 0(0)−M(−1)−M(0)−0=M0(0)-M(-1)-M(0)-0 = M doğru sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
Modeli standart forma dönüştürün ve maksimizasyon problemi için amaç fonksiyonunu güncelleyin.
Kısıt 1: x1+2x2+s1=30x_1 + 2x_2 + s_1 = 30
Kısıt 2: 3x1+x2−e1+a1=243x_1 + x_2 - e_1 + a_1 = 24
Kısıt 3: x1+x2+a2=18x_1 + x_2 + a_2 = 18
Amaç: Maks. Z=50x1+80x2+0s1+0e1−Ma1−Ma2Z = 50x_1 + 80x_2 + 0s_1 + 0e_1 - Ma_1 - Ma_2
Eşitsizlikleri ve eşitlikleri denklem haline getirmek ve Büyük-M mantığıyla yapay değişkenleri cezalandırmak (-M) gereklidir.
2
Başlangıç temel çözümünü ve bu değişkenlerin amaç fonksiyonundaki katsayı vektörünü (CBC_B) belirleyin.
Temel değişkenler: s1s_1, a1a_1, a2a_2. Bunların katsayıları sırasıyla CB=[0,−M,−M]C_B = [0, -M, -M] şeklindedir.
Orijine en yakın ilk geçerli kimlik matrisini oluşturan değişkenler başlangıç temelini oluşturur.
3
x1x_1 değişkeni için Zj−CjZ_j - C_j değerini hesaplayın.
Z1−C1=[0,−M,−M]⋅[1,3,1]T−50=(0⋅1)+(−M⋅3)+(−M⋅1)−50=−4M−50Z_1 - C_1 = [0, -M, -M] \cdot [1, 3, 1]^T - 50 = (0\cdot1) + (-M\cdot3) + (-M\cdot1) - 50 = -4M - 50
Net değerlendirme satırı formülü: Zj−Cj=∑(CBi⋅yij)−cjZ_j - C_j = \sum (C_{Bi} \cdot y_{ij}) - c_j
4
x2x_2 değişkeni için Zj−CjZ_j - C_j değerini hesaplayın.
Z2−C2=[0,−M,−M]⋅[2,1,1]T−80=(0⋅2)+(−M⋅1)+(−M⋅1)−80=−2M−80Z_2 - C_2 = [0, -M, -M] \cdot [2, 1, 1]^T - 80 = (0\cdot2) + (-M\cdot1) + (-M\cdot1) - 80 = -2M - 80
Aynı formül x2x_2'nin sütun vektörü ve amaç fonksiyonu katsayısı kullanılarak uygulanır.
5
e1e_1 (fazlalık) değişkeni için Zj−CjZ_j - C_j değerini hesaplayın.
Ze1−Ce1=[0,−M,−M]⋅[0,−1,0]T−0=(0⋅0)+(−M⋅−1)+(−M⋅0)−0=MZ_{e1} - C_{e1} = [0, -M, -M] \cdot [0, -1, 0]^T - 0 = (0\cdot0) + (-M\cdot-1) + (-M\cdot0) - 0 = M
Fazlalık değişkenleri kısıt denkleminden çıkarıldığı için sütun vektöründe ilgili satırda -1 değerini alır.

Anahtar Kavram

Büyük-M (Big-M) Yönteminde Başlangıç Tablosu Net Değerlendirme (Zj−CjZ_j - C_j) Hesaplamaları
Bu soruyu puanla

Konular

Yapay Değişkenli Yöntemler (Büyük-M ve İki Evreli)

Bu konudan daha fazla soru