Bir bölge kalkınma ajansında görevli ekonometrist, işletmelerin yıllık Ar-Ge harcamalarını… — KPSS İstatistik

Bir bölge kalkınma ajansında görevli ekonometrist, işletmelerin yıllık Ar-Ge harcamalarını ( $Y_i$ ); yıllık satış gelirleri ( $X_{1i}$ ) ve toplam çalışan sayısı ( $X_{2i}$ ) ile modellediği aşağıdaki doğrusal regresyon denklemini tahmin etmiştir:

Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + u_i

Yapılan kalıntı (artık) analizleri sonucunda, modelde değişen varyans (heteroskedastisite) problemi bulunduğu ve hata terimlerinin varyansının yıllık satış gelirlerinin karesiyle orantılı olduğu ( $Var(u_i) = \sigma^2 X_{1i}^2$ ) tespit edilmiştir.

Ekonometristin bu problemi gidermek ve Ağırlıklı En Küçük Kareler (WLS) yöntemiyle etkin tahminciler elde etmek için tahmin etmesi gereken dönüştürülmüş model aşağıdakilerden hangisidir?
(Not: $v_i$ , dönüştürülmüş modelin sabit varyanslı yeni hata terimidir.)

$\frac{Y_i}{X_{1i}} = \beta_0\left(\frac{1}{X_{1i}}\right) + \beta_1 + \beta_2\left(\frac{X_{2i}}{X_{1i}}\right) + v_i$ Cevap
B
$\frac{Y_i}{\sqrt{X_{1i}}} = \beta_0\left(\frac{1}{\sqrt{X_{1i}}}\right) + \beta_1\sqrt{X_{1i}} + \beta_2\left(\frac{X_{2i}}{\sqrt{X_{1i}}}\right) + v_i$
C
$\frac{Y_i}{X_{1i}^2} = \beta_0\left(\frac{1}{X_{1i}^2}\right) + \beta_1\left(\frac{1}{X_{1i}}\right) + \beta_2\left(\frac{X_{2i}}{X_{1i}^2}\right) + v_i$
D
$\frac{Y_i}{X_{1i}} = \beta_0 + \beta_1 + \beta_2\left(\frac{X_{2i}}{X_{1i}}\right) + v_i$
E
$Y_i X_{1i} = \beta_0 X_{1i} + \beta_1 X_{1i}^2 + \beta_2 X_{1i} X_{2i} + v_i$

Cevap

Doğru model, eşitliğin her iki tarafındaki tüm terimlerin

X_{1i}

değerine bölündüğü

\frac{Y_i}{X_{1i}} = \beta_0\left(\frac{1}{X_{1i}}\right) + \beta_1 + \beta_2\left(\frac{X_{2i}}{X_{1i}}\right) + v_i

denklemidir.

Verilen modelde hata teriminin varyansı

X_{1i}^2

ile orantılıdır. Ağırlıklı En Küçük Kareler (WLS) yöntemine göre, modeli sabit varyanslı hale getirmek için denklemin her iki tarafı, varyansın karekökü olan standart sapmaya (yani

X_{1i}

'ye) bölünmelidir. Bu işlem tüm terimlere eksiksiz uygulandığında, bağımlı değişken

Y_i/X_{1i}

olur,

\beta_1

'in katsayısı olan

X_{1i}

sadeleşerek

\beta_1

sabit terim haline gelir ve

\beta_0

katsayısı

1/X_{1i}

bağımsız değişkeninin katsayısı konumuna geçer.

Adım Adım Çözüm

Hata teriminin standart sapmasını belirle.

Varyans

Var(u_i) = \sigma^2 X_{1i}^2

olduğundan, standart sapma bunun karekökü olan

\sigma X_{1i}

'dir. Ağırlık faktörü (oransallık değişkeni)

X_{1i}

olarak tespit edilir.

Ağırlıklı En Küçük Kareler (WLS) yönteminde, modelin her iki tarafı hata teriminin standart sapmasıyla orantılı olan değişkene bölünmelidir.

Orijinal regresyon denkleminin tüm terimlerini ağırlık faktörüne (

X_{1i}

) böl.

\frac{Y_i}{X_{1i}} = \frac{\beta_0}{X_{1i}} + \frac{\beta_1 X_{1i}}{X_{1i}} + \frac{\beta_2 X_{2i}}{X_{1i}} + \frac{u_i}{X_{1i}}

denklemi elde edilir.

Eşitliğin bozulmaması için sabit terim ve hata terimi dahil tüm bileşenlere aynı işlem uygulanmalıdır.

Denklemi sadeleştir ve yeni değişkenleri tanımla.

Denklem

\frac{Y_i}{X_{1i}} = \beta_0\left(\frac{1}{X_{1i}}\right) + \beta_1 + \beta_2\left(\frac{X_{2i}}{X_{1i}}\right) + v_i

halini alır. Burada

\beta_1

yeni modelin sabit terimi olmuştur.

Matematiksel sadeleştirme yapılarak, EKK varsayımlarını sağlayan (sabit varyanslı

v_i

hata terimine sahip) dönüştürülmüş model son formuna kavuşturulur.

Anahtar Kavram

Ağırlıklı En Küçük Kareler (WLS) ile Değişen Varyansın Giderilmesi

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular