X_1, X_2, \dots, X_n rastgele örneklemi, (0, \theta) aralığında düzgün (uniform) dağılıma … — KPSS İstatistik

$X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele örneklemi, $(0, \theta)$ aralığında düzgün (uniform) dağılıma sahip bir kitleden alınmıştır. $\theta > 0$ bilinmeyen parametresini tahmin etmek için aşağıdaki ölçeklenmiş hata kareler (scaled squared error) kayıp fonksiyonu kullanılmaktadır:

L(\theta, \delta) = \left( \frac{\delta}{\theta} - 1 \right)^2

$\delta(X) = c X_{(n)}$ (burada $X_{(n)}$ örneklem maksimumu ve $c$ bir sabittir) biçimindeki tahmin ediciler sınıfı dikkate alındığında, bu sınıf içindeki minimax tahmin edici ve bu tahmin ediciye ait sabit risk değeri aşağıdakilerden hangisinde doğru olarak verilmiştir?

Tahmin Edici: $\frac{n+2}{n+1} X_{(n)}$ , Risk: $\frac{1}{(n+1)^2}$ Cevap
B
Tahmin Edici: $X_{(n)}$ , Risk: $\frac{2}{(n+1)(n+2)}$
C
Tahmin Edici: $\frac{n+1}{n} X_{(n)}$ , Risk: $\frac{1}{n(n+2)}$
D
Tahmin Edici: $\frac{n}{n+1} X_{(n)}$ , Risk: $\frac{2}{(n+1)^2}$
E
Tahmin Edici: $\frac{n+2}{n} X_{(n)}$ , Risk: $\frac{1}{(n+2)^2}$

Cevap

Minimax tahmin edici

\frac{n+2}{n+1} X_{(n)}

ve bu tahmin edicinin riski

\frac{1}{(n+1)^2}

'dir.

Verilen kayıp fonksiyonu

L(\theta, \delta) = (\frac{\delta}{\theta} - 1)^2

altında

\delta(X) = cX_{(n)}

biçimindeki tahmin edicilerin riski

\theta

'dan bağımsızdır ve

R(c) = c^2 \frac{n}{n+2} - 2c \frac{n}{n+1} + 1

şeklindedir. Risk,

\theta

'ya bağlı olmadığı için doğrudan

c

'ye göre minimize edilebilir. Türev alınıp sıfıra eşitlendiğinde

c = \frac{n+2}{n+1}

bulunur. Bu katsayı ile tahmin edici

\frac{n+2}{n+1}X_{(n)}

olur. Bu

c

değeri risk denkleminde yerine konulduğunda minimum risk değeri

\frac{1}{(n+1)^2}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

X_{(n)}

(örneklem maksimumu) istatistiğinin olasılık yoğunluk fonksiyonunu belirle.

f(y) = \frac{n y^{n-1}}{\theta^n}, \quad 0 < y < \theta

Risk fonksiyonunu hesaplayabilmek için

X_{(n)}

'in dağılımına ve beklenen değerlerine ihtiyaç vardır.

X_{(n)}

'in birinci ve ikinci momentlerini (beklenen değerlerini) hesapla.

E[X_{(n)}] = \frac{n}{n+1}\theta

E[X_{(n)}^2] = \frac{n}{n+2}\theta^2

Kayıp fonksiyonunda

\delta(X)^2

\delta(X)

terimleri yer aldığından bu momentler kullanılacaktır.

Verilen kayıp fonksiyonu için Risk fonksiyonunu

R(\theta, cX_{(n)})

oluştur.

R(\theta, c X_{(n)}) = E\left[ \left( \frac{c X_{(n)}}{\theta} - 1 \right)^2 \right] = \frac{c^2}{\theta^2} E[X_{(n)}^2] - \frac{2c}{\theta} E[X_{(n)}] + 1

Risk, kayıp fonksiyonunun beklenen değeridir ve minimax tahmin ediciyi bulmak için bu fonksiyon analiz edilmelidir.

Moment değerlerini Risk fonksiyonunda yerine koy.

R(c) = \frac{c^2}{\theta^2} \left( \frac{n}{n+2}\theta^2 \right) - \frac{2c}{\theta} \left( \frac{n}{n+1}\theta \right) + 1 = c^2 \frac{n}{n+2} - 2c \frac{n}{n+1} + 1

Görüldüğü üzere, ölçeklenmiş kayıp fonksiyonu sayesinde Risk değeri

\theta

'dan bağımsız sabit bir değere dönüşmüştür.

Riski minimize eden

c

sabitini bulmak için fonksyionun

c

'ye göre türevini al ve sıfıra eşitle.

\frac{d R}{d c} = 2c \frac{n}{n+2} - 2 \frac{n}{n+1} = 0 \implies c = \frac{n+2}{n+1}

Tahmin edicilerin riski sabit olduğundan, bu sınıf içindeki minimax tahmin edici basitçe riski en küçük yapan

c

değerine karşılık gelir.

Bulunan

c

değerini Risk fonksiyonunda yerine koyarak minimum riski hesapla.

R_{min} = \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^2 \frac{n}{n+2} - 2\left(\frac{n+2}{n+1}\right)\frac{n}{n+1} + 1 = \frac{n(n+2)}{(n+1)^2} - \frac{2n(n+2)}{(n+1)^2} + 1 = 1 - \frac{n^2+2n}{(n+1)^2} = \frac{1}{(n+1)^2}

Soruda hem tahmin edici hem de ona ait sabit minimax risk değeri istenmektedir.

Anahtar Kavram

Ölçeklenmiş Kayıp Fonksiyonları Altında Minimax Tahmin

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru