Examkin

Soru

Zorluk: OrtaDoğum-Ölüm Süreçleri ve Denge (Steady-State) Denklemleri

Bir bilgisayar ağındaki veri paketlerinin bir işlemciye varış hızı, sistemdeki paket sayısına (nn) bağlı olarak λn=6n+1\lambda_n = \frac{6}{n+1} paket/ms olarak değişmektedir. İşlemcinin paket işleme (hizmet) hızı ise her durumda sabittir ve μ=3\mu = 3 paket/ms'dir. Sistemin kapasitesi en fazla 2 paket ile sınırlı olduğuna göre (sistemde 2 paket varken yeni gelenler reddedilir), denge durumunda (steady-state) sistemde tam olarak 2 paket bulunma olasılığı (P2P_2) kaçtır?

  1. A
    0,20
  2. 0,40Cevap
  3. C
    0,50
  4. D
    0,33
  5. E
    0,60

Cevap

Denge durumunda sistemde 2 paket bulunma olasılığı 0,40'tır.
Sistemdeki geçiş hızları analiz edildiğinde, n=1n=1 durumu n=0n=0 durumunun iki katı, n=2n=2 durumu ise n=1n=1 durumu ile eşit olasılığa sahiptir. Bu durumda 1:2:21:2:2 oranı oluşur ve toplam 5 birimden 2 birimi (2/5=0,402/5=0,40) sistemde 2 paket olma olasılığını temsil eder.

Adım Adım Çözüm

1
Sistem durumları için varış ve hizmet hızlarını belirle.
λ0=6/(0+1)=6\lambda_0 = 6/(0+1) = 6, λ1=6/(1+1)=3\lambda_1 = 6/(1+1) = 3 ve μ1=3,μ2=3\mu_1 = 3, \mu_2 = 3.
Doğum-ölüm sürecinin hız parametrelerini kurmak için gereklidir.
2
Durum olasılıklarını (P1P_1 ve P2P_2) P0P_0 cinsinden ifade et.
P1=(λ0/μ1)P0=(6/3)P0=2P0P_1 = (\lambda_0 / \mu_1) P_0 = (6/3) P_0 = 2P_0; P2=(λ1/μ2)P1=(3/3)(2P0)=2P0P_2 = (\lambda_1 / \mu_2) P_1 = (3/3) (2P_0) = 2P_0.
Denge (steady-state) denklemleri olan λn−1Pn−1=μnPn\lambda_{n-1} P_{n-1} = \mu_n P_n bağıntısı uygulanır.
3
Toplam olasılık kuralını kullanarak P0P_0 değerini bul.
P0+P1+P2=1⇒P0+2P0+2P0=1⇒5P0=1⇒P0=0,20P_0 + P_1 + P_2 = 1 \Rightarrow P_0 + 2P_0 + 2P_0 = 1 \Rightarrow 5P_0 = 1 \Rightarrow P_0 = 0,20.
Sistemin mutlaka bu üç durumdan birinde bulunması gerektiği prensibine dayanır.
4
İstenen P2P_2 olasılığını hesapla.
P2=2×P0=2×0,20=0,40P_2 = 2 \times P_0 = 2 \times 0,20 = 0,40.
İkinci adımda bulunan bağıntı ile P0P_0 değeri birleştirilir.

Anahtar Kavram

Doğum-Ölüm Süreçlerinde Genel Denge Denklemleri
Bu soruyu puanla

Konular

Doğum-Ölüm Süreçleri ve Denge (Steady-State) Denklemleri

Bu konudan daha fazla soru