Bir endüstriyel süreçte üretilen parçaların ağırlıklarındaki sapmaların, ortalaması 0 ve v… — KPSS İstatistik

Bir endüstriyel süreçte üretilen parçaların ağırlıklarındaki sapmaların, ortalaması $0$ ve varyansı $\theta$ ( $\theta > 0$ ) olan normal dağılıma uyduğu bilinmektedir. Dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu şu şekildedir:

f(x; \theta) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\theta}} \exp\left(-\frac{x^2}{2\theta}\right)

Süreçten $n$ adet parça rastgele seçilmiş ve sapma değerleri $X_1, X_2, \dots, X_n$ olarak ölçülmüştür. Kalite kontrol uzmanı, sürecin standart sapmasını ifade eden $g(\theta) = \sqrt{\theta}$ değeri için yansız bir tahmin edici önermiştir.

Buna göre, $g(\theta)$ parametresinin herhangi bir yansız tahmin edicisinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\frac{\theta}{2n}$ Cevap
B
$\frac{2\theta^2}{n}$
C
$\frac{2\theta}{n}$
D
$\frac{\theta^2}{n}$
E
$\frac{\theta}{4n}$

Cevap

İlgili yansız tahmin edicinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı

\frac{\theta}{2n}

ifadesidir.

Verilen olasılık yoğunluk fonksiyonundan tek bir gözlem için Fisher bilgisi

I(\theta) = \frac{1}{2\theta^2}

olarak hesaplanır. Toplam Fisher bilgisi ise

I_n(\theta) = \frac{n}{2\theta^2}

olur. Tahmin edilmek istenen büyüklük standart sapma yani

g(\theta) = \sqrt{\theta}

olduğundan, bu fonksiyonun türevi

g'(\theta) = \frac{1}{2\sqrt{\theta}}

dir. Cramer-Rao eşitsizliği formülü olan

[g'(\theta)]^2 / I_n(\theta)

uygulandığında sonuç

\frac{1/(4\theta)}{n/(2\theta^2)} = \frac{\theta}{2n}

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

Tek bir gözlem için olasılık yoğunluk fonksiyonunun doğal logaritmasını (log-olabilirlik fonksiyonu) yazın.

\ln f(x; \theta) = -\frac{1}{2}\ln(2\pi) - \frac{1}{2}\ln(\theta) - \frac{x^2}{2\theta}

Fisher bilgi matrisini bulabilmek için fonksiyonun parametreye göre değişim hızını incelemeliyiz.

Log-olabilirlik fonksiyonunun

\theta

'ya göre birinci ve ikinci mertebeden türevlerini hesaplayın.

Birinci türev:

\frac{\partial}{\partial \theta} \ln f(x; \theta) = -\frac{1}{2\theta} + \frac{x^2}{2\theta^2}

İkinci türev:

\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \ln f(x; \theta) = \frac{1}{2\theta^2} - \frac{x^2}{\theta^3}

Fisher bilgisi, ikinci türevin beklenen değerinin negatif işaretlisine eşittir.

İkinci türevin beklenen değerini alarak tek bir gözlem için Fisher bilgisini (

I(\theta)

) bulun.

E[X^2] = \text{Var}(X) + (E[X])^2 = \theta + 0 = \theta

olduğundan;

I(\theta) = -E\left[\frac{1}{2\theta^2} - \frac{X^2}{\theta^3}\right] = -\left(\frac{1}{2\theta^2} - \frac{\theta}{\theta^3}\right) = -\left(\frac{1}{2\theta^2} - \frac{1}{\theta^2}\right) = \frac{1}{2\theta^2}

Kitle ortalaması

0

ve varyansı

\theta

olarak verildiğinden

E[X^2] = \theta

eşitliği kullanılmıştır.

n

birimlik örneklem için Fisher bilgisini (

I_n(\theta)

) hesaplayın ve tahmin edilmek istenen parametrenin (

g(\theta) = \sqrt{\theta}

) türevini alın.

I_n(\theta) = n \cdot I(\theta) = \frac{n}{2\theta^2}

g'(\theta) = \frac{1}{2\sqrt{\theta}}

Bağımsız örneklemler için toplam Fisher bilgisi tekil bilginin

n

katıdır. Cramer-Rao alt sınırı ise, parametre fonksiyonunun türevinin karesiyle orantılıdır.

Cramer-Rao alt sınırı formülünü uygulayarak sonucu hesaplayın.

\text{CRLB} = \frac{[g'(\theta)]^2}{I_n(\theta)} = \frac{\left(\frac{1}{2\sqrt{\theta}}\right)^2}{\frac{n}{2\theta^2}} = \frac{\frac{1}{4\theta}}{\frac{n}{2\theta^2}} = \frac{2\theta^2}{4n\theta} = \frac{\theta}{2n}

Bir fonksiyonun yansız tahmin edicisi için elde edilebilecek en küçük varyans değerine ulaşılmıştır.

Anahtar Kavram

Bir parametrenin fonksiyonuna (

g(\theta)

) ait tahmin ediciler için Cramer-Rao alt sınırının hesaplanması ve Fisher Bilgisi matrisi özellikleri.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru