Multinomiyal Dağılım

Bir kamu fabrikasında üretilen özel donanım parçalarının kalite kontrol testlerinde, parçaların %60'ının "kusursuz", %30'unun "kabul edilebilir hafif kusurlu" ve %10'unun "kullanılamaz hurda" olarak sınıflandırıldığı tespit edilmiştir. Bu üretim hattından rastgele ve birbirinden bağımsız olarak 50 adet parça seçilmiştir.

Seçilen örneklemdeki kusursuz parça sayısı $X_1$ ve kabul edilebilir hafif kusurlu parça sayısı $X_2$ ile gösterilmektedir.

Buna göre, $X_1$ ile $X_2$ arasındaki kovaryans değeri $Cov(X_1, X_2)$ ve $X_1 + X_2$ toplamının varyansı $Var(X_1 + X_2)$ sırasıyla aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

Bir kamu kurumunun çağrı merkezine gelen çağrılar; "Bilgi Alma" ($X_1$), "Şikayet" ($X_2$) ve "Teknik Destek" ($X_3$) olmak üzere üç farklı kategoriye ayrılmaktadır. Geçmiş verilere göre, rastgele seçilen bir çağrının bu kategorilere ait olma olasılıkları sırasıyla $p_1 = 0.50$, $p_2 = 0.30$ ve $p_3 = 0.20$'dir.

Belirli bir gün içinde çağrı merkezine birbirinden bağımsız toplam $n = 100$ çağrı geldiği varsayılmaktadır.

Buna göre, gelen çağrılar arasındaki şikayet sayısı ($X_2$) ile teknik destek sayısı ($X_3$) arasındaki ortak varyans (kovaryans), yani $Cov(X_2, X_3)$ değeri aşağıdakilerden hangisidir?

Bir pazar araştırması şirketi, tüketicilerin belirli bir elektronik ürünü satın alma tercihlerini dört farklı kategoride incelemektedir. Bu kategoriler ve rastgele seçilen bir tüketicinin bu kategorileri tercih etme olasılıkları şu şekildedir:

- Çevrimiçi mağaza ($X_1$): $p_1 = 0,4$
- Fiziksel mağaza ($X_2$): $p_2 = 0,3$
- Telefonla sipariş ($X_3$): $p_3 = 0,2$
- Hiçbiri (Alışveriş yapmama) ($X_4$): $p_4 = 0,1$

Araştırma kapsamında rastgele seçilen 50 tüketici incelenmiştir. Çevrimiçi mağaza ile fiziksel mağazayı tercih edenlerin sayısındaki fark $Y = X_1 - X_2$ ve fiziksel mağaza ile telefonla siparişi tercih edenlerin toplam sayısı $Z = X_2 + X_3$ olarak tanımlanmaktadır.

Buna göre, $Y$ ve $Z$ rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans değeri, $Cov(Y, Z)$ aşağıdakilerden hangisidir?

Bir e-ticaret sitesini ziyaret eden her bir müşterinin siteden ayrılmadan önce gerçekleştirdiği son eylem dört farklı kategoride sınıflandırılmaktadır: Sadece Ürün İnceleme ($X_1$), Sepete Ekleme Ancak Almama ($X_2$), Satın Alma ($X_3$) ve Hemen Çıkış Yapma ($X_4$).

Her bir müşterinin bu eylemlerden sadece birini gerçekleştirerek siteden ayrıldığı ve müşterilerin eylemlerinin birbirinden bağımsız olduğu varsayılmaktadır. Uzun dönemli kayıtlara göre bu eylemlerin gerçekleşme olasılıkları sırasıyla $p_1 = 0{}24$, $p_2 = 0{}32$, $p_3 = 0{}24$ ve $p_4 = 0{}20$ olarak bilinmektedir.

Belirli bir saat diliminde siteyi ziyaret eden toplam $150$ müşteriden $50$'sinin hemen çıkış yaptığı ($X_4 = 50$) bilinmektedir.

Buna göre, geriye kalan müşteriler arasında 'Sadece Ürün İnceleme' eylemini gerçekleştiren müşteri sayısı ($X_1$) ile 'Sepete Ekleme Ancak Almama' eylemini gerçekleştiren müşteri sayısı ($X_2$) arasındaki koşullu kovaryans değeri, yani $Cov(X_1, X_2 \mid X_4 = 50)$ kaçtır?

Bir devlet hastanesinin acil servisine başvuran hastalar, durumlarının aciliyetine göre dört farklı triyaj renk kodundan birine ayrılmaktadır. Uzun dönem kayıtlarına göre, bir hastanın yeşil ($X_1$), sarı ($X_2$), kırmızı ($X_3$) veya siyah ($X_4$) alana yönlendirilme olasılıkları sırasıyla $0,40$, $0,30$, $0,20$ ve $0,10$ olarak belirlenmiştir.

Belirli bir zaman diliminde acil servise birbirinden bağımsız olarak $200$ hastanın başvurduğu varsayılmaktadır.

Buna göre, yeşil alana yönlendirilen hasta sayısı ile sarı veya kırmızı alana yönlendirilen toplam hasta sayısı arasındaki kovaryans, $Cov(X_1, X_2 + X_3)$ değeri kaçtır?

Bir Sosyal Güvenlik Kurumu (SGK) il müdürlüğüne yapılan maluliyet emekliliği başvuruları incelendikten sonra üç farklı durumdan birine ayrılmaktadır:

- Durum 1: Doğrudan reddedilenler (Olasılık: $0,20$)
- Durum 2: Ek sağlık kurulu raporu istenenler (Olasılık: $0,30$)
- Durum 3: Onaylananlar (Olasılık: $0,50$)

Buna göre, $W$ endeksinin varyansı ($Var(W)$) kaçtır?

Bir kamu kütüphanesinden kitap ödünç alan okuyucuların tercih ettikleri kitap türleri; Roman ($X_1$), Bilim ($X_2$) ve Sanat ($X_3$) olmak üzere üç kategoriye ayrılmaktadır. Rastgele seçilen bir okuyucunun bu kategorileri tercih etme olasılıkları aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Kütüphaneden rastgele seçilen $20$ okuyucunun kitap tercihleri multinomiyal dağılım göstermektedir. Buna göre, Roman ve Bilim kategorilerini tercih eden okuyucu sayıları arasındaki kovaryans değeri ($Cov(X_1, X_2)$) kaçtır?

Bir Sosyal Yardımlaşma ve Dayanışma Vakfı tarafından hazırlanan yardım paketleri üç farklı türden oluşmaktadır. Bu paketlerin türleri ve seçilme olasılıkları aşağıda verilmiştir:

Bu vakıftan rastgele seçilen $n = 10$ adet yardım paketi için $X_1$ ve $X_2$ değişkenleri arasındaki kovaryans değeri ($Cov(X_1, X_2)$) kaçtır?

Bir belediyenin sunduğu ulaşım hizmetlerine yönelik yapılan bir kamuoyu araştırmasında, vatandaşların hizmetten "çok memnun", "orta düzeyde memnun" veya "hiç memnun değil" olma olasılıkları sırasıyla $0,4$, $0,2$ ve $0,4$ olarak saptanmıştır. Bu araştırmaya katılan rastgele seçilmiş $50$ kişilik bir grupta, "çok memnun" olanların sayısı $X_1$, "orta düzeyde memnun" olanların sayısı ise $X_2$ ile gösterilmektedir. Buna göre, $X_1$ ve $X_2$ rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans ($Cov(X_1, X_2)$) değeri kaçtır?

Bir bakanlık tarafından düzenlenen hizmet içi eğitim programına katılan personellerin unvanlarına göre dağılımı aşağıdaki tabloda verilmiştir:

Bu eğitim programına katılanlar arasından rastgele seçilen $50$ personelin unvan dağılımı multinomiyal dağılım göstermektedir.

Buna göre, aday memur sayısı ($X_1$) ile asil memur sayısı ($X_2$) arasındaki kovaryans değeri ($Cov(X_1, X_2)$) kaçtır?

Bir kamu hastanesinin acil servisine başvuran hastalar; tıbbi öncelik durumlarına göre "Kırmızı Alan" ($X_1$), "Sarı Alan" ($X_2$) ve "Yeşil Alan" ($X_3$) olmak üzere üç kategoriye ayrılmaktadır. Bir hastanın bu kategorilere atanma olasılıkları sırasıyla $p_1 = 0,20$, $p_2 = 0,50$ ve $p_3 = 0,30$ olarak belirlenmiştir. Rastgele seçilen $20$ hastadan oluşan bir grupta, Kırmızı Alan ($X_1$) ve Sarı Alan ($X_2$) kategorilerine giren hasta sayıları arasındaki kovaryans değeri ($Cov(X_1, X_2)$) kaçtır?