Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorMultinomiyal Dağılım

Bir pazar araştırması şirketi, tüketicilerin belirli bir elektronik ürünü satın alma tercihlerini dört farklı kategoride incelemektedir. Bu kategoriler ve rastgele seçilen bir tüketicinin bu kategorileri tercih etme olasılıkları şu şekildedir:

- Çevrimiçi mağaza (X1X_1): p1=0,4p_1 = 0,4
- Fiziksel mağaza (X2X_2): p2=0,3p_2 = 0,3
- Telefonla sipariş (X3X_3): p3=0,2p_3 = 0,2
- Hiçbiri (Alışveriş yapmama) (X4X_4): p4=0,1p_4 = 0,1

Araştırma kapsamında rastgele seçilen 50 tüketici incelenmiştir. Çevrimiçi mağaza ile fiziksel mağazayı tercih edenlerin sayısındaki fark Y=X1−X2Y = X_1 - X_2 ve fiziksel mağaza ile telefonla siparişi tercih edenlerin toplam sayısı Z=X2+X3Z = X_2 + X_3 olarak tanımlanmaktadır.

Buna göre, YY ve ZZ rastgele değişkenleri arasındaki kovaryans değeri, Cov(Y,Z)Cov(Y, Z) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    −22,0-22,0
  2. −17,5-17,5Cevap
  3. C
    −10,5-10,5
  4. D
    −3,5-3,5
  5. E
    −2,5-2,5

Cevap

İki yeni rastgele değişkenin arasındaki kovaryans değeri −17,5-17,5'tir.
Doğru değer, multinomiyal dağılımda varyans ve kovaryans formüllerinin lineer kombinasyonlara eksiksiz uygulanmasıyla elde edilir. Cov(X1−X2,X2+X3)=Cov(X1,X2)+Cov(X1,X3)−Var(X2)−Cov(X2,X3)Cov(X_1 - X_2, X_2 + X_3) = Cov(X_1, X_2) + Cov(X_1, X_3) - Var(X_2) - Cov(X_2, X_3) şeklinde açılır. Multinomiyal dağılımda Var(Xi)=npi(1−pi)Var(X_i) = n p_i (1-p_i) ve i≠ji \neq j için Cov(Xi,Xj)=−npipjCov(X_i, X_j) = -n p_i p_j eşitlikleri geçerlidir. Formüldeki ilgili değerler yerine konulduğunda; Cov(Y,Z)=−6−4−10,5−(−3)=−17,5Cov(Y,Z) = -6 - 4 - 10,5 - (-3) = -17,5 olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1
Cov(Y,Z)=Cov(X1−X2,X2+X3)Cov(Y, Z) = Cov(X_1 - X_2, X_2 + X_3) ifadesini kovaryansın lineerlik özelliğini kullanarak bileşenlerine ayırmak.
Cov(X1,X2)+Cov(X1,X3)−Cov(X2,X2)−Cov(X2,X3)Cov(X_1, X_2) + Cov(X_1, X_3) - Cov(X_2, X_2) - Cov(X_2, X_3) elde edilir.
Birleşik rastgele değişkenlerin kovaryansını hesaplayabilmek için ifadeyi temel değişkenlerin varyans ve kovaryanslarına indirgemek gerekir.
2
Cov(X2,X2)Cov(X_2, X_2) ifadesinin Var(X2)Var(X_2) olduğunu belirterek denklemi son haline getirmek.
İfade Cov(X1,X2)+Cov(X1,X3)−Var(X2)−Cov(X2,X3)Cov(X_1, X_2) + Cov(X_1, X_3) - Var(X_2) - Cov(X_2, X_3) halini alır.
Bir değişkenin kendisiyle olan kovaryansı kendi varyansına eşittir.
3
Multinomiyal dağılımın parametrelerini (n=50n=50, p1=0,4p_1=0,4, p2=0,3p_2=0,3, p3=0,2p_3=0,2) kullanarak ilgili temel varyans ve kovaryans değerlerini hesaplamak.
Var(X2)=np2(1−p2)=50×0,3×0,7=10,5Var(X_2) = n p_2 (1-p_2) = 50 \times 0,3 \times 0,7 = 10,5
Cov(X1,X2)=−np1p2=−50×0,4×0,3=−6Cov(X_1, X_2) = -n p_1 p_2 = -50 \times 0,4 \times 0,3 = -6
Cov(X1,X3)=−np1p3=−50×0,4×0,2=−4Cov(X_1, X_3) = -n p_1 p_3 = -50 \times 0,4 \times 0,2 = -4
Cov(X2,X3)=−np2p3=−50×0,3×0,2=−3Cov(X_2, X_3) = -n p_2 p_3 = -50 \times 0,3 \times 0,2 = -3
Açılımda yer alan her bir terimin sayısal değerini bulmak zorunludur.
4
Hesaplanan değerleri açılım formülünde yerine koyarak sonuca ulaşmak.
Cov(Y,Z)=(−6)+(−4)−(10,5)−(−3)=−10−10,5+3=−17,5Cov(Y, Z) = (-6) + (-4) - (10,5) - (-3) = -10 - 10,5 + 3 = -17,5
Bileşen değerlerinin cebirsel toplamı, istenilen asıl kovaryans değerini verir.

Anahtar Kavram

Multinomiyal Dağılımda Marjinal Varyans ve Kovaryanslar
Bu soruyu puanla

Konular

Multinomiyal Dağılım

Bu konudan daha fazla soru