Bir e-ticaret sitesini ziyaret eden her bir müşterinin siteden ayrılmadan önce gerçekleşti… — KPSS İstatistik

Bir e-ticaret sitesini ziyaret eden her bir müşterinin siteden ayrılmadan önce gerçekleştirdiği son eylem dört farklı kategoride sınıflandırılmaktadır: Sadece Ürün İnceleme ( $X_1$ ), Sepete Ekleme Ancak Almama ( $X_2$ ), Satın Alma ( $X_3$ ) ve Hemen Çıkış Yapma ( $X_4$ ).

Her bir müşterinin bu eylemlerden sadece birini gerçekleştirerek siteden ayrıldığı ve müşterilerin eylemlerinin birbirinden bağımsız olduğu varsayılmaktadır. Uzun dönemli kayıtlara göre bu eylemlerin gerçekleşme olasılıkları sırasıyla $p_1 = 0{}24$ , $p_2 = 0{}32$ , $p_3 = 0{}24$ ve $p_4 = 0{}20$ olarak bilinmektedir.

Belirli bir saat diliminde siteyi ziyaret eden toplam $150$ müşteriden $50$ 'sinin hemen çıkış yaptığı ( $X_4 = 50$ ) bilinmektedir.

Buna göre, geriye kalan müşteriler arasında 'Sadece Ürün İnceleme' eylemini gerçekleştiren müşteri sayısı ( $X_1$ ) ile 'Sepete Ekleme Ancak Almama' eylemini gerçekleştiren müşteri sayısı ( $X_2$ ) arasındaki koşullu kovaryans değeri, yani $Cov(X_1, X_2 \mid X_4 = 50)$ kaçtır?

A
$-11{}52$
B
$0$
$-12$ Cevap
D
$12$
E
$-7{}68$

Cevap

Koşullu kovaryans değeri

-12

'dir.

Multinomiyal dağılımda bir değişkenin değeri bilindiğinde (

X_4 = 50

), geriye kalan değişkenler koşullu olarak yeni bir multinomiyal dağılım izler. Kalan deneme sayısı

n' = 150 - 50 = 100

olur. Kalan

X_1

X_2

X_3

değişkenlerinin kendi içindeki olasılıkları koşullu olasılık gereği yeniden ölçeklendirilmelidir. Bu değişkenlerin toplam olasılığı

1 - p_4 = 1 - 0{}20 = 0{}80

'dir. Dolayısıyla yeni olasılıklar

p_1' = 0{}24 / 0{}80 = 0{}30

p_2' = 0{}32 / 0{}80 = 0{}40

olarak güncellenir. Multinomiyal dağılımın kovaryans formülü

Cov(X_i, X_j) = -n \cdot p_i \cdot p_j

olduğuna göre, bu yeni alt dağılımda koşullu kovaryans

Cov(X_1, X_2 \mid X_4 = 50) = -100 \cdot 0{}30 \cdot 0{}40 = -12

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

Eylemlerin temel dağılımını belirleme

(X_1, X_2, X_3, X_4) \sim \text{Multinomiyal}(n=150, p=(0{}24; 0{}32; 0{}24; 0{}20))

Müşteriler birbirinden bağımsızdır ve her biri birbirinden ayrık 4 kategoriden tam olarak birine girmektedir.

Koşullu dağılımın deneme sayısını (n') bulma

X_4 = 50

bilindiğinde, kalan değişkenler

(X_1, X_2, X_3)

yeni bir multinomiyal dağılım izler. Yeni deneme sayısı

n' = 150 - 50 = 100

olur.

Multinomiyal dağılımda bir kategorinin gerçekleşme sayısı sabitlendiğinde, geriye kalan durumların sayısı toplam deneme sayısından düşülür.

Geriye kalan durumlar için koşullu olasılıkları (p') hesaplama

p_1' = \frac{0{}24}{1 - 0{}20} = 0{}30

p_2' = \frac{0{}32}{1 - 0{}20} = 0{}40

Kalan üç durumun (

X_1, X_2, X_3

) kendi içindeki olasılık toplamlarının 1 olması için, başlangıç olasılıkları

1 - p_4

(kalan toplam olasılık) değerine bölünerek orantısal olarak artırılır.

Yeni dağılıma göre koşullu kovaryansı hesaplama

Cov(X_1, X_2 \mid X_4 = 50) = -n' \cdot p_1' \cdot p_2' = -100 \cdot 0{}30 \cdot 0{}40 = -12

Multinomiyal dağılımda iki değişken arasındaki kovaryans, örneklem büyüklüğü ile o değişkenlere ait olasılıkların çarpımının negatifine eşittir.

Anahtar Kavram

Multinomiyal Dağılımda Koşullu Dağılımlar ve Kovaryans

Alternatif Yöntem

Koşullu dağılımları binom üzerinden düşünerek de çözüme gidilebilir: Toplam

X_1 + X_2 \sim \text{Binom}(100, 0{}70)

. O halde

Var(X_1 + X_2) = 100 \cdot 0{}70 \cdot 0{}30 = 21

. Ayrıca

Var(X_1) = 100 \cdot 0{}30 \cdot 0{}70 = 21

Var(X_2) = 100 \cdot 0{}40 \cdot 0{}60 = 24

Var(X_1 + X_2) = Var(X_1) + Var(X_2) + 2Cov(X_1, X_2)

formülünden

21 = 21 + 24 + 2Cov(X_1, X_2)

eşitliği kurularak

Cov(X_1, X_2) = -12

bulunabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru