X_1, X_2, \dots, X_n bir kitleden alınan n birimlik bir rastgele örneklem olsun. Kitlenin … — KPSS İstatistik

$X_1, X_2, \dots, X_n$ bir kitleden alınan $n$ birimlik bir rastgele örneklem olsun. Kitlenin varyansı $\sigma^2 = 4$ olarak bilinen ve ortalaması $\mu$ olan bir normal dağılıma sahip olduğu varsayılmaktadır:

f(x; \mu) = \frac{1}{\sqrt{8\pi}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{8}\right), \quad -\infty < x < \infty

Buna göre, $g(\mu) = 2\mu$ parametrik fonksiyonunun herhangi bir yansız tahmin edicisine ait varyans için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

$\frac{16}{n}$ Cevap
B
$\frac{4}{n}$
C
$\frac{8}{n}$
D
$\frac{1}{n}$
E
$\frac{16}{n^2}$

Cevap

\mu

parametresinin bir fonksiyonu olan

g(\mu) = 2\mu

için Cramer-Rao alt sınırı

16/n

olarak hesaplanır.

Varyansı

\sigma^2=4

olan normal dağılımda,

\mu

parametresi için Fisher bilgisi

I(\mu) = 1/4

düzeyindedir. Cramer-Rao alt sınırı formülü olan

\frac{[g'(\mu)]^2}{n I(\mu)}

ifadesinde

g(\mu)=2\mu

için türev

g'(\mu)=2

olarak yerine konulduğunda, pay kısmında

2^2=4

ve payda kısmında

n \cdot (1/4)

değerleri oluşur. Bu işlem sonucunda alt sınır

16/n

olarak belirlenir.

Adım Adım Çözüm

Fisher Bilgisinin (

I(\mu)

) hesaplanması

I(\mu) = 1/\sigma^2 = 1/4

Varyansı bilinen normal dağılımda, konum parametresi

\mu

için tek bir gözlemin taşıdığı Fisher bilgisi varyansın tersine eşittir.

Tahmin edilmek istenen fonksiyonun türevinin (

g'(\mu)

) bulunması

g'(\mu) = \frac{d}{d\mu}(2\mu) = 2

Cramer-Rao alt sınırı formülünde pay kısmında yer alan payın karesini belirlemek için türev gereklidir.

Cramer-Rao Alt Sınırı (CRAS) formülünün uygulanması

CRAS = \frac{[g'(\mu)]^2}{n \cdot I(\mu)} = \frac{2^2}{n \cdot (1/4)} = \frac{4}{n/4} = \frac{16}{n}

n

birimlik örneklem için bir fonksiyonun yansız tahmin edicisinin varyansının alt sınırı bu genel formülle bulunur.

Anahtar Kavram

Cramer-Rao Alt Sınırı ve Parametre Fonksiyonları

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru