Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n bir kitleden alınan nn birimlik bir rastgele örneklem olsun. Söz konusu kitlenin olasılık yoğunluk fonksiyonu, θ>0\theta > 0 bilinmeyen bir parametre olmak üzere aşağıda verilmiştir:

f(x;θ)=xθe−x22θ,x>0f(x; \theta) = \frac{x}{\theta} e^{-\frac{x^2}{2\theta}}, \quad x > 0

Buna göre, θ\theta parametresinin yansız herhangi bir tahmin edicisinin varyansı için Cramer-Rao alt sınırı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. θ2n\frac{\theta^2}{n}Cevap
  2. B
    2θ2n\frac{2\theta^2}{n}
  3. C
    θn\frac{\theta}{n}
  4. D
    θ22n\frac{\theta^2}{2n}
  5. E
    θ2n2\frac{\theta^2}{n^2}

Cevap

Cramer-Rao alt sınırı θ2n\frac{\theta^2}{n} olarak hesaplanır.
Verilen Rayleigh dağılımı için Fisher bilgisi 1/θ21/\theta^2 olarak hesaplanır. n birimlik bağımsız ve aynı dağılımlı örneklem durumunda, yansız bir tahmin edici için varyansın alt sınırı 1/(n⋅I(θ))1/(n \cdot I(\theta)) formülüyle bulunur. Bu durumda θ2/n\theta^2/n sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Log-olabilirlik fonksiyonunun oluşturulması
ln⁡f(x;θ)=ln⁡x−ln⁡θ−x22θ\ln f(x; \theta) = \ln x - \ln \theta - \frac{x^2}{2\theta}
Fisher bilgisini hesaplamak için log-olabilirlik fonksiyonunun parametreye göre türevi gereklidir.
2
Parametreye göre birinci ve ikinci türevlerin alınması
∂ln⁡f∂θ=−1θ+x22θ2\frac{\partial \ln f}{\partial \theta} = -\frac{1}{\theta} + \frac{x^2}{2\theta^2} ve ∂2ln⁡f∂θ2=1θ2−x2θ3\frac{\partial^2 \ln f}{\partial \theta^2} = \frac{1}{\theta^2} - \frac{x^2}{\theta^3}
Fisher bilgisi, ikinci türevin negatif beklenen değeridir.
3
Fisher bilgisinin (I(θ)I(\theta)) hesaplanması
I(θ)=−E[1θ2−X2θ3]=E[X2]θ3−1θ2=2θθ3−1θ2=1θ2I(\theta) = -E\left[\frac{1}{\theta^2} - \frac{X^2}{\theta^3}\right] = \frac{E[X^2]}{\theta^3} - \frac{1}{\theta^2} = \frac{2\theta}{\theta^3} - \frac{1}{\theta^2} = \frac{1}{\theta^2}
Rayleigh dağılımı için E[X2]=2θE[X^2] = 2\theta olduğu bilinmektedir.
4
n birimlik örneklem için Cramer-Rao alt sınırının bulunması
Var(θ^)≥1nI(θ)=1n(1/θ2)=θ2nVar(\hat{\theta}) \geq \frac{1}{n I(\theta)} = \frac{1}{n (1/\theta^2)} = \frac{\theta^2}{n}
Yansız bir tahmin edicinin varyansı 1/(n⋅I(θ))1/(n \cdot I(\theta)) değerinden küçük olamaz.

Anahtar Kavram

Cramer-Rao Alt Sınırı, Fisher Bilgi Miktarı kullanılarak yansız bir tahmin edicinin sahip olabileceği en küçük varyansı belirler.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru