Examkin

Soru

Zorluk: KolayBüyük Örneklem (Asimptotik) Güven Aralıkları

Bir devlet kütüphanesinde, hafta içi günlerde saat başına ödünç alınan ortalama kitap sayısını (λ\lambda) tahmin etmek amacıyla n=100n=100 saatlik rastgele bir gözlem yapılmıştır. Yapılan bu gözlemler sonucunda saatlik ortalama kitap sayısı xˉ=25\bar{x}=25 olarak hesaplanmıştır. Büyük örneklem teorisine göre, kitle ortalaması (Poisson parametresi λ\lambda) için %95 düzeyinde asimptotik güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir? (z0,025=1,96z_{0,025} = 1,96 alınız.)

  1. [24,02 \ ; \ 25,98]Cevap
  2. B
    [24,01 \ ; \ 25,99]
  3. C
    [24,51 \ ; \ 25,49]
  4. D
    [15,20 \ ; \ 34,80]
  5. E
    [24,18 \ ; \ 25,82]

Cevap

Kitap sayısının kitle ortalaması için %95 asimptotik güven aralığı [24,02 ; 25,98][24,02 \ ; \ 25,98] olarak hesaplanır.
Verilen n=100n=100 değeri büyük örneklem şartını sağladığı için asimptotik güven aralığı normal dağılım yaklaşımıyla hesaplanır. Standart hata 25/100=0,5\sqrt{25/100}=0,5 ve z=1,96z=1,96 kullanıldığında hata payı 0,980,98 olur. Bu değerin ortalamadan çıkarılmasıyla 24,0224,02, eklenmesiyle 25,9825,98 sınırlarına ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Poisson dağılımı için asimptotik güven aralığı formülünü belirleyin.
xˉ±zα/2xˉn\bar{x} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\bar{x}}{n}}
Büyük örneklemlerde Poisson parametresinin en çok olabilirlik tahmin edicisi (Xˉ)(\bar{X}), Merkezi Limit Teoremi gereği asimptotik olarak normal dağılım gösterir.
2
Verilen değerleri standart hata formülünde yerine koyun.
SE=25100=0,25=0,5SE = \sqrt{\frac{25}{100}} = \sqrt{0,25} = 0,5
Poisson dağılımında varyans parametreye eşit olduğu için standart hata λ/n\sqrt{\lambda/n} formülüyle tahmin edilir.
3
%95 güven düzeyi için hata payını (ME) hesaplayın.
ME=1,96×0,5=0,98ME = 1,96 \times 0,5 = 0,98
z0,025=1,96z_{0,025} = 1,96 kritik değeri ile standart hatanın çarpımı hata payını verir.
4
Alt ve üst güven sınırlarını hesaplayın.
25±0,98⇒[24,02 ; 25,98]25 \pm 0,98 \Rightarrow [24,02 \ ; \ 25,98]
Örneklem ortalamasına hata payı eklenip çıkarılarak parametrenin bulunduğu aralık tahmin edilir.

Anahtar Kavram

Büyük örneklemlerde (n≥30n \geq 30) Poisson parametresi olan λ\lambda için asimptotik güven aralığı, Merkezi Limit Teoremi uyarınca standart normal dağılım (ZZ) kullanılarak oluşturulur.
Bu soruyu puanla

Konular

Büyük Örneklem (Asimptotik) Güven Aralıkları

Bu konudan daha fazla soru