Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTemel Bileşen Katsayıları ve Doğrusal Kombinasyonlar

Bir istatistik uzmanı, X1X_1 ve X2X_2 standartlaştırılmış değişkenlerinden oluşan bir veri setinin korelasyon matrisi üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır. Korelasyon matrisinin en büyük özdeğeri λ1=1,6\lambda_1 = 1,6 olarak hesaplanmış ve bu özdeğere karşılık gelen birinci temel bileşen Y1=0,8X1+0,6X2Y_1 = 0,8X_1 + 0,6X_2 şeklinde elde edilmiştir. Temel bileşenlerin özellikleri gereği, ikinci temel bileşeni temsil eden Y2=c1X1+c2X2Y_2 = c_1X_1 + c_2X_2 doğrusal kombinasyonunda c1<0c_1 < 0 olduğu bilinmektedir. Buna göre, ikinci temel bileşenin varyansı (Var(Y2)Var(Y_2)) ve doğrusal kombinasyon denklemi aşağıdakilerin hangisinde birlikte doğru verilmiştir?

  1. Var(Y2)=0,4Var(Y_2) = 0,4 ve Y2=−0,6X1+0,8X2Y_2 = -0,6X_1 + 0,8X_2Cevap
  2. B
    Var(Y2)=0,2Var(Y_2) = 0,2 ve Y2=−0,6X1+0,8X2Y_2 = -0,6X_1 + 0,8X_2
  3. C
    Var(Y2)=0,4Var(Y_2) = 0,4 ve Y2=−0,8X1+0,6X2Y_2 = -0,8X_1 + 0,6X_2
  4. D
    Var(Y2)=0,4Var(Y_2) = 0,4 ve Y2=−3X1+4X2Y_2 = -3X_1 + 4X_2
  5. E
    Var(Y2)=0,64Var(Y_2) = 0,64 ve Y2=−0,6X1+0,8X2Y_2 = -0,6X_1 + 0,8X_2

Cevap

İkinci temel bileşenin varyansı 0,4 ve doğrusal kombinasyonu Y_2 = -0,6X_1 + 0,8X_2 olmalıdır.
Temel Bileşenler Analizinde (TBA) korelasyon matrisinin özdeğerleri toplamı toplam değişken sayısına eşittir (p=2p=2). Bu durumda toplam varyans 2 olur. Verilen en büyük özdeğer λ1=1,6\lambda_1 = 1,6 olduğundan, ikinci özdeğer ve dolayısıyla ikinci temel bileşenin varyansı λ2=2−1,6=0,4\lambda_2 = 2 - 1,6 = 0,4 olarak bulunur. İkinci temel bileşenin katsayıları (c1,c2c_1, c_2), birinci temel bileşen katsayılarına dik olmalıdır (0,8c1+0,6c2=00,8c_1 + 0,6c_2 = 0). Ayrıca bu katsayı vektörünün boyu 1 birim olacak şekilde normalize edilmesi zorunludur (c12+c22=1c_1^2 + c_2^2 = 1). Bu denklem sistemi c1<0c_1 < 0 koşulu ile çözüldüğünde c1=−0,6c_1 = -0,6 ve c2=0,8c_2 = 0,8 değerleri elde edilir. Dolayısıyla doğru denklem Y2=−0,6X1+0,8X2Y_2 = -0,6X_1 + 0,8X_2 şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

1
Korelasyon matrisi üzerinden toplam varyansı belirleme.
Standartlaştırılmış iki değişken kullanıldığı için matrisin izi (köşegen elemanları toplamı) ve dolayısıyla toplam varyans 2'dir.
Korelasyon matrisinin asal köşegenindeki her bir eleman 1'dir. Değişken sayısı p=2p=2 olduğundan ∑λi=p=2\sum \lambda_i = p = 2 eşitliği geçerlidir.
2
İkinci temel bileşenin varyansını (λ2\lambda_2) hesaplama.
λ1+λ2=2⇒1,6+λ2=2⇒λ2=0,4\lambda_1 + \lambda_2 = 2 \Rightarrow 1,6 + \lambda_2 = 2 \Rightarrow \lambda_2 = 0,4. İkinci bileşenin varyansı Var(Y2)=0,4Var(Y_2) = 0,4 olur.
Temel Bileşenler Analizinde her bir bileşenin varyansı, o bileşene karşılık gelen özdeğere (λ\lambda) eşittir.
3
İkinci temel bileşen katsayılarının sağlaması gereken diklik (ortogonallik) eşitliğini kurma.
a1Ta2=0⇒0,8c1+0,6c2=0⇒c2=−43c1a_1^T a_2 = 0 \Rightarrow 0,8c_1 + 0,6c_2 = 0 \Rightarrow c_2 = -\frac{4}{3}c_1 eşitliği elde edilir.
Farklı temel bileşenler birbirleriyle ilişkisiz (korelasyonsuz) olmalıdır, bu durum katsayı vektörlerinin birbirine dik olmasıyla sağlanır.
4
Katsayıların normalizasyon kuralını uygulayarak nihai değerleri bulma.
c12+c22=1⇒c12+(−43c1)2=1⇒259c12=1⇒c12=0,36c_1^2 + c_2^2 = 1 \Rightarrow c_1^2 + (-\frac{4}{3}c_1)^2 = 1 \Rightarrow \frac{25}{9}c_1^2 = 1 \Rightarrow c_1^2 = 0,36. Koşul gereği c1<0c_1 < 0 olduğundan c1=−0,6c_1 = -0,6 ve c2=0,8c_2 = 0,8 bulunur.
Temel bileşen katsayıları (özvektörler) her zaman birim vektör olarak normalize edilir, yani katsayıların kareleri toplamı 1'e eşit olmalıdır.

Anahtar Kavram

TBA'da özdeğerlerin toplam varyansa eşitliği, bileşen varyanslarının özdeğer olması ve katsayı (özvektör) matrisinin ortonormal (dik ve normalize edilmiş) yapısı.
Bu soruyu puanla

Konular

Temel Bileşen Katsayıları ve Doğrusal Kombinasyonlar