Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÖzdeğerler ve Özvektörlerin Özellikleri

Bir kamu kurumu, sunduğu hizmetlerin kalitesini ölçmek amacıyla 33 farklı değişken üzerinden veri toplamıştır. Bu değişkenlere ait 3×33 \times 3 boyutlu varyans-kovaryans matrisinin (SS) izi (trace) 1818 olarak hesaplanmıştır. Temel Bileşenler Analizi (TBA) sonucunda elde edilen ilk iki özdeğer λ1=10\lambda_1 = 10 ve λ2=5\lambda_2 = 5 olduğuna göre, bu analize ilişkin aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

  1. A
    Üçüncü temel bileşene ait özdeğer (λ3\lambda_3) 33 değerine eşittir.
  2. B
    Üçüncü temel bileşen, toplam varyansın yaklaşık %16,7\%16,7'sini açıklamaktadır.
  3. C
    Varyans-kovaryans matrisinin determinantı (∣S∣|S|) 150150 değerine eşittir.
  4. Varyans-kovaryans matrisinin izi (trace), matrise ait özdeğerlerin çarpımı ile hesaplanır.Cevap
  5. E
    Temel bileşenleri oluşturan özvektörler birim uzunluktadır ve birbirlerine diktir.

Cevap

Varyans-kovaryans matrisinin izinin (trace) özdeğerlerin çarpımı ile hesaplandığını belirten ifade yanlıştır.
Varyans-kovaryans matrisinin izi (trace), matrisin esas köşegenindeki elemanların toplamıdır ve bu değer matematiksel olarak özdeğerlerin toplamına (∑λi∑ \lambda_i) eşittir. Seçeneklerde izin özdeğerlerin çarpımına eşit olduğu belirtilmiştir ki bu özellik determinant (∣S∣|S|) için geçerlidir. Dolayısıyla bu ifade kavramsal olarak yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Üçüncü özdeğeri (λ3\lambda_3) hesapla.
λ3=18−(10+5)=3\lambda_3 = 18 - (10 + 5) = 3
Varyans-kovaryans matrisinin izi (trace), tüm özdeğerlerin toplamına eşittir.
2
Matrisin determinantını hesapla.
∣S∣=10×5×3=150|S| = 10 \times 5 \times 3 = 150
Bir matrisin determinantı, o matrisin özdeğerlerinin çarpımına eşittir.
3
Varyans oranlarını ve özellikleri kontrol et.
λ3/I˙z=3/18=0,167\lambda_3 / \text{İz} = 3/18 = 0,167; Özvektörler ortonormaldir; İz toplamdır.
TBA'da toplam varyans iz değeridir ve özvektörler dik/normalize yapıda seçilir.

Anahtar Kavram

Özdeğerlerin toplamı matrisin izine (trace), çarpımı ise determinantına eşittir.

Daha Fazla Pratik

Korelasyon matrisi üzerinden yapılan TBA'da iz değerinin her zaman değişken sayısına (pp) eşit olacağını hatırlayarak benzer bir hesaplama yapınız.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Özdeğerler ve Özvektörlerin Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru