Examkin

Soru

Zorluk: Zorİki Kitle Varyansları Oranı İçin Güven Aralığı

Bir havacılık şirketinde, iki farklı uçuş rotasındaki (Kısa Mesafe ve Uzun Mesafe) rötar sürelerinin değişkenliği incelenmektedir.

Kısa Mesafe (K) rotasından rastgele seçilen 1111 uçuşun rötar sürelerine ait örneklem varyansı SK2=50S_K^2 = 50, Uzun Mesafe (U) rotasından rastgele seçilen 1515 uçuşun rötar sürelerine ait örneklem varyansı SU2=20S_U^2 = 20 olarak hesaplanmıştır.

Uçuş rötar sürelerinin normal dağılıma sahip olduğu varsayımı altında, σU2σK2\frac{\sigma_U^2}{\sigma_K^2} kitle varyansları oranı için %90\%90 güven aralığı aşağıdakilerden hangisidir?
(İşlemlerde F0,05;10,14=2,60F_{0,05; 10, 14} = 2,60 ve F0,05;14,10=2,86F_{0,05; 14, 10} = 2,86 değerlerini kullanınız.)

  1. [0,42,86,  0,4×2,60]\left[ \frac{0,4}{2,86}, \; 0,4 \times 2,60 \right]Cevap
  2. B
    [0,42,60,  0,4×2,86]\left[ \frac{0,4}{2,60}, \; 0,4 \times 2,86 \right]
  3. C
    [0,42,86,  0,42,60]\left[ \frac{0,4}{2,86}, \; \frac{0,4}{2,60} \right]
  4. D
    [2,52,60,  2,5×2,86]\left[ \frac{2,5}{2,60}, \; 2,5 \times 2,86 \right]
  5. E
    [0,4×2,60,  0,4×2,86]\left[ 0,4 \times 2,60, \; 0,4 \times 2,86 \right]

Cevap

[0,42,86,  0,4×2,60]\left[ \frac{0,4}{2,86}, \; 0,4 \times 2,60 \right] aralığını veren seçenek doğrudur.
İki kitle varyansı oranı σU2σK2\frac{\sigma_U^2}{\sigma_K^2} için %90\%90 güven aralığı hesaplanırken nokta tahmin edici SU2SK2=2050=0,4\frac{S_U^2}{S_K^2} = \frac{20}{50} = 0,4 olarak bulunur. Pivot fonksiyonu olan oran, FF dağılımına sahiptir. Pay (U) için serbestlik derecesi vU=15−1=14v_U = 15 - 1 = 14 ve payda (K) için vK=11−1=10v_K = 11 - 1 = 10'dur. Güven aralığının alt sınırı SU2SK2×1F0,05;14,10\frac{S_U^2}{S_K^2} \times \frac{1}{F_{0,05; 14, 10}} formülü ile 0,42,86\frac{0,4}{2,86} olarak hesaplanır. Üst sınır formülü olan SU2SK2×1F0,95;14,10\frac{S_U^2}{S_K^2} \times \frac{1}{F_{0,95; 14, 10}}, F dağılımının tersinme özelliği (F1−α;v1,v2=1Fα;v2,v1F_{1-\alpha; v_1, v_2} = \frac{1}{F_{\alpha; v_2, v_1}}) kullanılarak SU2SK2×F0,05;10,14\frac{S_U^2}{S_K^2} \times F_{0,05; 10, 14} haline getirilir ve bu da 0,4×2,600,4 \times 2,60 sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
İstenen aralık için nokta tahmin edicisini hesaplamak.
SU2SK2=2050=0,4\frac{S_U^2}{S_K^2} = \frac{20}{50} = 0,4
σU2σK2\frac{\sigma_U^2}{\sigma_K^2} oranı için güven aralığı, örneklem varyansları oranı merkez alınarak kurgulanır.
2
Serbestlik derecelerini ve anlamlılık düzeyini belirlemek.
α=0,10  ⟹  α/2=0,05\alpha = 0,10 \implies \alpha/2 = 0,05. Payın (U) serbestlik derecesi vU=15−1=14v_U = 15 - 1 = 14, paydanın (K) serbestlik derecesi vK=11−1=10v_K = 11 - 1 = 10.
F dağılımında kritik değerleri doğru okumak için pay ve payda serbestlik derecelerinin sırası kritik öneme sahiptir.
3
Güven aralığının alt sınırını formüle etmek.
Alt sınır: SU2SK2×1Fα/2;vU,vK=0,4F0,05;14,10=0,42,86\frac{S_U^2}{S_K^2} \times \frac{1}{F_{\alpha/2; v_U, v_K}} = \frac{0,4}{F_{0,05; 14, 10}} = \frac{0,4}{2,86}
Standart pivot fonksiyonu eşitsizliğinin çözümü sonucunda alt sınır formülü bu şekilde elde edilir.
4
Güven aralığının üst sınırını F dağılımının özelliği yardımıyla formüle etmek.
Üst sınır: SU2SK2×1F1−α/2;vU,vK\frac{S_U^2}{S_K^2} \times \frac{1}{F_{1-\alpha/2; v_U, v_K}}. Özellik gereği F1−α/2;vU,vK=1Fα/2;vK,vUF_{1-\alpha/2; v_U, v_K} = \frac{1}{F_{\alpha/2; v_K, v_U}} olduğundan üst sınır 0,4×F0,05;10,14=0,4×2,600,4 \times F_{0,05; 10, 14} = 0,4 \times 2,60 olur.
F dağılımı tabloları genellikle sadece sağ kuyruk (küçük α\alpha) değerlerini içerdiğinden, tersinme (reciprocal) özelliği kullanılarak formül yeniden düzenlenir.

Anahtar Kavram

İki Kitle Varyansları Oranı İçin Güven Aralığı Formülasyonu
Bu soruyu puanla

Konular

İki Kitle Varyansları Oranı İçin Güven Aralığı

Bu konudan daha fazla soru