Examkin

Soru

Zorluk: OrtaGeometrik Dağılım

Bir kamu kurumunun otomasyon sisteminde, yapılan her bir veri tabanı sorgusunun başarılı olma olasılığı birbirinden bağımsız ve sabittir. İlk başarılı sorgunun elde edilmesi için yapılması gereken toplam sorgu sayısı XX rastgele değişkeni ile modellenmiştir ve XX'in Geometrik dağılıma sahip olduğu bilinmektedir.

Sistem analiz raporlarına göre, XX değişkeninin varyansı, beklenen değerinin 4 katına eşittir.

Buna göre, sisteme art arda yapılan ilk 3 sorgunun başarısız olduğu bilindiğine göre, ilk başarılı sorgunun tam olarak 6. denemede gerçekleşme olasılığı aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 16125\frac{16}{125}Cevap
  2. B
    64625\frac{64}{625}
  3. C
    27256\frac{27}{256}
  4. D
    4125\frac{4}{125}
  5. E
    102415625\frac{1024}{15625}

Cevap

İlk 3 denemenin başarısız olması koşulunda 6. denemede başarı elde edilmesi olasılığı 16125\frac{16}{125}'tir.
Geometrik dağılımın toplam deneme sayısı tanımına göre E[X]=1/pE[X] = 1/p ve Var(X)=(1−p)/p2Var(X) = (1-p)/p^2 dir. Bu eşitlikten p=1/5p = 1/5 (başarı olasılığı) bulunur. İstenen P(X=6∣X>3)P(X = 6 \mid X > 3) koşullu olasılığı, dağılımın hafızasızlık özelliği (memoryless property) gereği P(X=3)P(X = 3)'e eşittir. Formülde yerine konulduğunda qx−1p=(4/5)2⋅(1/5)=16/125q^{x-1}p = (4/5)^2 \cdot (1/5) = 16/125 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
XX'in tanımından yola çıkarak beklenen değer ve varyans formüllerini yazma
E[X]=1pE[X] = \frac{1}{p} ve Var(X)=1−pp2Var(X) = \frac{1-p}{p^2}
XX, ilk başarı için gereken toplam deneme sayısıdır (tanım kümesi x≥1x \ge 1).
2
Verilen varyans ve beklenen değer ilişkisini kullanarak başarı olasılığını (pp) bulma
1−pp2=4(1p)  ⟹  1−pp=4  ⟹  1−p=4p  ⟹  5p=1  ⟹  p=15\frac{1-p}{p^2} = 4 \left(\frac{1}{p}\right) \implies \frac{1-p}{p} = 4 \implies 1-p = 4p \implies 5p = 1 \implies p = \frac{1}{5}
Soruda varyansın, beklenen değerin 4 katı olduğu net olarak verilmiştir.
3
İstenen koşullu olasılığı matematiksel olarak ifade etme ve hafızasızlık özelliğini (memoryless property) uygulama
P(X=6∣X>3)=P(X=6−3)=P(X=3)P(X = 6 \mid X > 3) = P(X = 6 - 3) = P(X = 3)
Geometrik dağılım hafızasızlık özelliğine sahiptir. İlk 3 başarısızlık geçmişte kalmıştır ve sürecin baştan başlamasıyla eşdeğerdir.
4
Geometrik dağılım fonksiyonu ile P(X=3)P(X = 3) değerini hesaplama
P(X=3)=(1−p)3−1p=(45)215=1625⋅15=16125P(X = 3) = (1-p)^{3-1} p = \left(\frac{4}{5}\right)^2 \frac{1}{5} = \frac{16}{25} \cdot \frac{1}{5} = \frac{16}{125}
Toplam deneme sayısı 3 olduğunda, ilk 2 deneme başarısız (q2q^2) ve 3. deneme başarılıdır (pp).

Anahtar Kavram

Geometrik Dağılım ve Hafızasızlık Özelliği

Alternatif Yöntem

Hafızasızlık özelliğini kullanmadan genel koşullu olasılık formülü ile de çözüm yapılabilir: P(X=6∣X>3)=P(X=6∩X>3)P(X>3)=P(X=6)P(X>3)=q5⋅pq3=q2⋅p=(45)2⋅15=16125P(X = 6 \mid X > 3) = \frac{P(X = 6 \cap X > 3)}{P(X > 3)} = \frac{P(X = 6)}{P(X > 3)} = \frac{q^5 \cdot p}{q^3} = q^2 \cdot p = \left(\frac{4}{5}\right)^2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{16}{125}.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Geometrik Dağılım

Bu konudan daha fazla soru