Examkin

Soru

Zorluk: KolayTahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bir tıp araştırmasında, yeni geliştirilen bir tedavi yönteminin hastalar üzerindeki başarı durumu pp parametreli Bernoulli dağılımı ile modellenmektedir:

f(x;p)=px(1−p)1−x,x∈{0,1}f(x; p) = p^x (1-p)^{1-x}, \quad x \in \{0, 1\}

Bu tedavi yönteminin uygulandığı nn hastadan oluşan bir rastgele örneklemde, başarı olasılığı pp için tanımlanacak herhangi bir yansız tahmin edicinin varyansı aşağıdakilerden hangisinden küçük olamaz?

  1. p(1−p)n\frac{p(1-p)}{n}Cevap
  2. B
    1np(1−p)\frac{1}{np(1-p)}
  3. C
    pn\frac{p}{n}
  4. D
    p2n\frac{p^2}{n}
  5. E
    p(1-p)

Cevap

Başarı olasılığı pp için Cramer-Rao alt sınırı p(1−p)n\frac{p(1-p)}{n} ifadesidir.
Doğru cevap olan ifade, Bernoulli dağılımı için Fisher bilgisinin (I(p)=1/(p(1−p))I(p) = 1/(p(1-p))) hesaplanıp, 1/(nI(p))1/(nI(p)) formülünde yerine konulmasıyla elde edilen varyans alt sınırıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Olasılık kütle fonksiyonunun logaritmasını alınız.
ln⁡f(x;p)=xln⁡p+(1−x)ln⁡(1−p)\ln f(x; p) = x \ln p + (1-x) \ln(1-p)
Fisher bilgisini hesaplamak için log-olabilirlik fonksiyonuna ihtiyaç duyulur.
2
pp parametresine göre birinci ve ikinci türevleri hesaplayınız.
∂ln⁡f∂p=xp−1−x1−p,∂2ln⁡f∂p2=−xp2−1−x(1−p)2\frac{\partial \ln f}{\partial p} = \frac{x}{p} - \frac{1-x}{1-p}, \quad \frac{\partial^2 \ln f}{\partial p^2} = -\frac{x}{p^2} - \frac{1-x}{(1-p)^2}
Fisher bilgisi, ikinci türevin negatif beklenen değeridir.
3
Fisher bilgisini (I(p)I(p)) hesaplayınız.
I(p)=−E[−Xp2−1−X(1−p)2]=pp2+1−p(1−p)2=1p(1−p)I(p) = -E\left[-\frac{X}{p^2} - \frac{1-X}{(1-p)^2}\right] = \frac{p}{p^2} + \frac{1-p}{(1-p)^2} = \frac{1}{p(1-p)}
Beklenen değer işleminde E[X]=pE[X]=p olduğu kullanılır.
4
Cramer-Rao Alt Sınırı (CRAS) formülünü uygulayınız.
CRAS=1nI(p)=1n⋅1p(1−p)=p(1−p)nCRAS = \frac{1}{n I(p)} = \frac{1}{n \cdot \frac{1}{p(1-p)}} = \frac{p(1-p)}{n}
nn birimlik bir örneklem için alt sınır, tek birimlik bilginin nn katına bölünmesiyle bulunur.

Anahtar Kavram

Cramer-Rao alt sınırı, bir parametrenin yansız tahmin edicileri için mümkün olan en küçük varyans değerini belirler ve Fisher bilgisinin bir fonksiyonudur.

Daha Fazla Pratik

Poisson dağılımı için Cramer-Rao alt sınırının nasıl hesaplandığını inceleyerek bilgilerinizi pekiştirebilirsiniz.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Tahmin Edicilerin Özellikleri: Etkinlik ve Cramer-Rao Alt Sınırı

Bu konudan daha fazla soru