Examkin

Soru

Zorluk: KolayLehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici)

Bir kitle, parametresi λ\lambda olan Poisson dağılımına sahiptir. Bu kitleden çekilen nn birimlik bir rastgele örneklem için T=∑i=1nXiT = \sum_{i=1}^n X_i istatistiğinin λ\lambda parametresi için tam (complete) ve yeterli (sufficient) bir istatistik olduğu bilinmektedir. Buna göre, Lehmann-Scheffe Teoremi uyarınca λ\lambda parametresinin düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edicisi (UMVUE) aşağıdakilerden hangisidir?

  1. Xˉ=1n∑i=1nXi\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_iCevap
  2. B
    ∑i=1nXi\sum_{i=1}^n X_i
  3. C
    X1X_1
  4. D
    S2=1n−1∑i=1n(Xi−Xˉ)2S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2
  5. E
    1n+1∑i=1nXi\frac{1}{n+1} \sum_{i=1}^n X_i

Cevap

Örneklem ortalaması olan Xˉ=1n∑i=1nXi\bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i ifadesidir.
Lehmann-Scheffe Teoremi'ne göre, eğer TT tam ve yeterli bir istatistik ise, bu istatistiğin yansız olan herhangi bir fonksiyonu λ\lambda parametresi için benzersiz düzgün en küçük varyanslı yansız tahmin edicidir (UMVUE). Örneklem ortalaması Xˉ\bar{X}, yeterli istatistik olan toplamın (TT) bir fonksiyonudur ve beklenen değeri doğrudan λ\lambda'ya eşit olduğu için bu şartları tam olarak karşılar.

Adım Adım Çözüm

1
Dağılımın beklenen değerini belirleme
E[Xi]=λE[X_i] = \lambda
Poisson dağılımında kitle ortalaması parametreye eşittir.
2
Tam ve yeterli istatistiğin beklenen değerini hesaplama
E[T]=E[∑Xi]=nλE[T] = E[\sum X_i] = n\lambda
Toplamın beklenen değeri, beklenen değerlerin toplamına eşittir.
3
Yansızlık şartını sağlayacak fonksiyonu oluşturma
E[Tn]=1nE[T]=nλn=λE[\frac{T}{n}] = \frac{1}{n} E[T] = \frac{n\lambda}{n} = \lambda
Lehmann-Scheffe Teoremi'ne göre tam ve yeterli istatistiğin yansız bir fonksiyonu UMVUE'dir.

Anahtar Kavram

Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE Bulma

İpuçları

1
Bir tahmin edicinin UMVUE olması için öncelikle yansız (E[θ^]=θE[\hat{\theta}] = \theta) olması gerektiğini hatırlayın.
2
Lehmann-Scheffe Teoremi, UMVUE'nin tam ve yeterli istatistiğin bir fonksiyonu olması gerektiğini söyler. Burada T=∑XiT = \sum X_i tam ve yeterli istatistiktir.
3
TT istatistiğini hangi sayıya bölerseniz beklenen değeri tam olarak λ\lambda olur?

Daha Fazla Pratik

Aynı dağılım için λ2\lambda^2 parametresinin UMVUE'sini bulmaya çalışarak konuyu pekiştirebilirsiniz.

Alternatif Yöntem

Rao-Blackwell teoremi kullanılarak da yansız bir tahmin edicinin (X1X_1 gibi), tam ve yeterli istatistik (TT) üzerine koşullu beklenen değeri alınarak E[X1∣T]=XˉE[X_1 | T] = \bar{X} sonucu elde edilebilir.
Tahmini Süre:45s
Bu soruyu puanla

Konular

Lehmann-Scheffe Teoremi ve UMVUE (Düzgün En Küçük Varyanslı Yansız Tahmin Edici)

Bu konudan daha fazla soru