Bir biyoproses mühendisi, bir fermantasyon reaktöründeki bekleme süresi (X, saat) ile elde… — KPSS İstatistik

Bir biyoproses mühendisi, bir fermantasyon reaktöründeki bekleme süresi ( $X$ , saat) ile elde edilen spesifik enzim verimi ( $Y$ , mg/L) arasındaki fonksiyonel ilişkiyi çözümlemek amacıyla $n=42$ bağımsız gözlemden oluşan bir veri seti üzerinden üçüncü dereceden (kübik) bir polinom regresyon modelini En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle tahmin etmiştir:

Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \beta_2 X_i^2 + \beta_3 X_i^3 + u_i

Mühendis, karesel ( $X^2$ 'li) modelden kübik modele geçiş yaptığında şu sonuçları elde etmiştir:
- Hata Kareler Toplamı (HKT) bir miktar azalmasına rağmen, düzeltilmiş belirtme katsayısının ( $\bar{R}^2$ ) karesel modele göre düştüğü görülmüştür.
- En yüksek dereceli terim olan $X^3$ 'ün katsayısı ( $\beta_3$ ) için uygulanan t-testi sonucunda boş hipotez reddedilememiştir.
- Modeldeki $X$ , $X^2$ ve $X^3$ terimleri arasındaki Varyans Şişme Faktörü (VIF) değerlerinin oldukça yüksek olduğu saptanmıştır.

Bu bulgular ışığında, analiz süreciyle ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Düzeltilmiş $\bar{R}^2$ 'deki düşüş, $X^3$ teriminin modele sağladığı ek açıklayıcı gücün serbestlik derecesi kaybını telafi edemediğini gösterdiğinden, karesel modele dönülmesi metodolojik olarak daha uygundur.Cevap
B
Kübik modelde hata varyansının yansız tahmini için Hata Kareler Toplamı (HKT), $n-3$ serbestlik derecesine bölünmelidir; modele yeni terim eklendikçe paydanın küçülmesi t-istatistiğini de küçültmüştür.
C
Modele açıklayıcı bir değişken olarak $X^3$ eklendiğinde normal $R^2$ 'nin artmasına rağmen düzeltilmiş $\bar{R}^2$ 'nin düşmesi kuramsal olarak mümkün olmadığından, bu durum veri setindeki fonksiyonel form hatasını kanıtlar.
D
Polinom terimler arasında yüksek VIF değerleriyle tespit edilen çoklu doğrusal bağlantı, EKK tahmincilerinin sapmasızlık özelliğini bozarak sapmalı (biased) tahminler ürettiği için $\beta_3$ katsayısı anlamsız çıkmıştır.
E
$\beta_3$ parametresinin modele sağladığı marjinal katkının anlamlılığını test etmek amacıyla t-testinin kullanılması yetersizdir; tek bir parametrenin anlamlılığı bile modelin genel anlamlılığını ölçen ANOVA F-testi ile sınanmalıdır.

Cevap

Düzeltilmiş belirtme katsayısındaki (

\bar{R}^2

) düşüşün ve t-istatistiğinin anlamsızlığının,

X^3

teriminin modele yarar sağlamadığını göstererek karesel modeli işaret ettiğini belirten seçenek doğrudur.

Doğru ifadede, EKK tahmininde modele açıklayıcılığı düşük bir değişken eklendiğinde

\bar{R}^2

'nin düşeceği ve t-testinin anlamsız çıkacağı prensibi doğru şekilde yorumlanmıştır. Bu iki göstergenin zayıf olması, kübik modelin aşırı belirleme (overfitting) yarattığını ve daha parsimonious (sade) olan karesel modele dönülmesi gerektiğini istatistiksel olarak kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

Modeldeki belirtme katsayılarının (

R^2

\bar{R}^2

) değişiminin analiz edilmesi.

Normal

R^2

artarken

\bar{R}^2

'nin düşmesi, modele eklenen

X^3

değişkeninin açıklayıcı gücünün serbestlik derecesi kaybına değmediğini gösterir.

\bar{R}^2

formülü gereksiz değişken eklenmesini serbestlik derecesi üzerinden cezalandırır.

\beta_3

parametresine ait t-testi sonucunun yorumlanması.

Sıfır hipotezinin reddedilememesi (anlamsızlık), kübik terimin istatistiksel olarak sıfırdan farklı bir marjinal etki yaratmadığını doğrular.

Bireysel marjinal katkıların ölçümünde t-testi temel karar aracıdır.

Çoklu doğrusal bağlantının (VIF) EKK özelliklerine etkisinin değerlendirilmesi.

Polinom modellerde değişkenlerin üsleri alındığı için yapısal olarak yüksek VIF (çoklu bağlantı) görülmesi doğaldır. Bu durum varyansı şişirse de sapmasızlığı (unbiasedness) bozmaz.

Çoklu bağlantı bir spesifikasyon hatası değil, veri setinin ve fonksiyonel yapının bir özelliğidir.

Hata serbestlik derecesi hesaplamasının kontrol edilmesi.

n=42

p+1=4

parametre olduğundan, hata serbestlik derecesi

n-4 = 38

olarak hesaplanır.

Hata varyansının yansız tahmini için gözlem sayısından tüm tahmin edilen parametre sayısı çıkarılır.

Anahtar Kavram

Polinom regresyon modellerinde değişken seçimi, serbestlik derecesi ve çoklu doğrusal bağlantının kuramsal etkileri

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru